Прескочи на садржај
🛠️
Whiz Tools

Калкулатор јединичне кружнице: синус, косинус и тангенс

Унесите угао у степенима или радијанима да бисте добили његову тачку на јединичној кружници, синус, косинус, тангенс, референтни угао и квадрант. Тачне вредности за стандардне углове.

Unit Circle Calculator

Enter an angle in degrees or radians to get its point on the unit circle, its sine, cosine and tangent, its reference angle and its quadrant. The standard angles are answered exactly.

The angle to place on the circle, in the unit chosen below. Any value is allowed, including a negative one and one past a full turn.

Point on the circle (x, y)
(√3/2, 1/2)

Sine, cosine and tangent

cos θ (the x coordinate)
√3/2
sin θ (the y coordinate)
1/2
tan θ
√3/3
This is one of the sixteen standard angles, so the values are exact rather than rounded. As decimals: cos θ = 0.8660254, sin θ = 0.5, tan θ = 0.57735027.

Where it lands

Quadrant or axis
Quadrant I
Reference angle
30°
Reference angle in radians
π/6rad

The angle

Angle in degrees
30°
Angle in radians
0.52359878rad
Folded into one turn
30°
Folded angle in radians
π/6rad
The unit circle has radius 1 and is centred on the origin. A point on it is (cos θ, sin θ), so the coordinates and the two function values are the same pair of numbers. The tangent is sin θ divided by cos θ, which has no value where cos θ is 0.
Kalkulator učitavanja...
📚

Dokumentacija

Калкулатор јединичне кружнице

Јединична кружница је кружница полупречника 1 нацртана око координатног почетка графика. Калкулатор јединичне кружнице прима један угао и приказује где тај угао пресеца кружницу: тачку (x, y), синус, косинус и тангенс, референтни угао и квадрант. Ова страница очитава угао у степенима или радијанима и даје тачне вредности као што је √3/2 за шеснаест стандардних углова.

Шта калкулатор ради

Посетилац уноси један угао и бира степене или радијане. Страница приказује:

  • тачку (x, y) у којој угао пресеца кружницу
  • cos θ, sin θ и tan θ
  • референтни угао, у степенима и радијанима
  • квадрант или осу када угао пада на њу
  • угао у обе јединице и исти угао сведен на један пун обртај

За шеснаест стандардних углова одговори су исписани као тачни затворени облици, а децимале су приказане испод. Сваки други угао приказује се са осам значајних цифара. Заокружује се само приказ.

Формула јединичне кружнице

Углови се мере супротно смеру кретања казаљке на сату од позитивне x-осе. Полуправа повучена под углом θ сече кружницу у једној тачки, а две координате те тачке јесу косинус и синус:

(x,y)=(cos⁡θ,sin⁡θ)(x, y) = (\cos\theta, \sin\theta)

где је xx хоризонтална координата, yy вертикална координата, а θ\theta угао.

Полупречник је 1, па су координате и две функционалне вредности исти пар бројева под два назива. Зато је кружница нацртана са полупречником 1, а не неком другом величином. Тангенс се добија из истог пара:

tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}

Свака тачка на кружници такође задовољава Питагорину теорему, примењену на правоугли троугао са катетама xx и yy и хипотенузом 1:

cos⁡2θ+sin⁡2θ=1\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1

Степени и радијани

Страница прихвата било коју од ове две јединице и приказује обе. Повезане су тако што је пола обртаја једнако π радијана:

\qquad \theta_{\mathrm{deg}} = \theta_{\mathrm{rad}} \times \frac{180}{\pi}$$ где је $\theta_{\mathrm{deg}}$ угао у степенима, а $\theta_{\mathrm{rad}}$ исти угао у радијанима. ### Свођење на један пун обртај Угао може бити негативан и може прећи цео обртај. Тачка на кружници понавља се сваких 360°, па страница најпре своди угао у опсег од 0° до, али не укључујући, 360°: $$\theta_0 = ((\theta \bmod 360) + 360) \bmod 360$$ где је $\theta$ унети угао у степенима, а $\theta_0$ исти смер записан унутар једног обртаја. 750° своди се на 30°, а −30° на 330°. Свођење се врши у степенима, при чему је остатак тачан. ### Референтни угао и квадрант Референтни угао је акутни угао између полуправе и x-осе. Никада није већи од 90°: $$\theta_{\mathrm{ref}} = \begin{cases} \theta_0 & \text{if } \theta_0 \le 90 \\ 180 - \theta_0 & \text{if } \theta_0 \le 180 \\ \theta_0 - 180 & \text{if } \theta_0 \le 270 \\ 360 - \theta_0 & \text{у супротном} \end{cases}$$ где је $\theta_0$ сведени угао у степенима. Величина синуса, косинуса и тангенса зависи само од референтног угла. Квадрант одређује знакове. | Квадрант | Сведени угао | cos | sin | tan | |---|---|---|---|---| | И | 0° до 90° | + | + | + | | II | 90° до 180° | − | + | − | | III | 180° до 270° | − | − | + | | IV | 270° до 360° | + | − | − | Углови 0°, 90°, 180° и 270° налазе се на оси. Квадрант је отворена област између две осе, па ниједан од та четири угла није унутар квадранта; страница зато именује осу уместо да бира суседни квадрант. ### Шеснаест стандардних углова Пет референтних углова имају тачне затворене облике. | Референтни угао | cos | sin | tan | |---|---|---|---| | 0° (0) | 1 | 0 | 0 | | 30° (π/6) | √3/2 | 1/2 | √3/3 | | 45° (π/4) | √2/2 | √2/2 | 1 | | 60° (π/3) | 1/2 | √3/2 | √3 | | 90° (π/2) | 0 | 1 | није дефинисано | Пресликавањем тих редова у преостала три квадранта добија се шеснаест углова: 0, 30, 45, 60, 90, 120, 135, 150, 180, 210, 225, 240, 270, 300, 315 и 330 степени. Страница их добија ротирањем тачака из првог квадранта за четвртину обртаја у сваком кораку, уместо да четири пута преписује табелу, јер се при преписивању уносе погрешни знаци. 15°, 75° и 105° такође имају затворене облике, али облике са два члана, као што је 2 − √3. Они не припадају овој фамилији и приказују се као децимале. За 15° добија се cos 0,96592583, sin 0,25881905 и tan 0,26794919. ### Пример: 210 степени 210° је већи од 180° и мањи од 270°, па се налази у трећем квадранту. Када се одузме 180, остаје референтни угао од 30°. За референтни угао од 30° три величине су √3/2, 1/2 и √3/3. У трећем квадранту обе координате су негативне, па је тачка (−√3/2, −1/2). Тангенс је количник негативног и негативног броја, па остаје позитиван и износи √3/3. У радијанима угао је 7π/6, а референтни угао је π/6. Као децимале страница приказује cos −0,8660254, sin −0,5 и tan 0,57735027. 570° и −150° дају исте одговоре, јер се оба своде на 210°. ### Које су константе тачне | Константа | Вредност | Тачно? | Извор | |---|---|---|---| | Степени у једном обртају | 360 | тачно по дефиницији | ISO 80000-3 | | Радијани у једном обртају | 2π | тачно по дефиницији | ISO 80000-3; SI брошура | | cos 30°, sin 60° | √3/2 | тачно | NIST DLMF §4,14 | | cos 45°, sin 45° | √2/2 | тачно | NIST DLMF §4,14 | | cos 60°, sin 30° | 1/2 | тачно | NIST DLMF §4,14 | | tan 90°, tan 270° | нема вредност | тачно, пол | NIST DLMF §4,15 | π је ирационалан број, па нема тачан децимални или бинарни облик и свака његова сачувана вредност је заокружена. Страница на два начина спречава да то заокруживање утиче на одговоре. Свођење се врши у степенима, где се 360 дели без остатка. Стандардни углови се преузимају из табеле затворених облика изнад, а никада из синуса израчунатог у покретном зарезу. ### Очитавање угла унетог у радијанима Унос у радијанима већ је заокружена децимала. π/2 се уноси као 1,5707963267948966, а повратна конверзија даје угао удаљен око десет билионитих делова степена од 90, уместо тачно 90. Зато страница сваки угао удаљен највише милионити део степена од стандардног угла очитава као тај угао. Толеранција одређује која се табела користи; она никада не проширује одговор. 30,001° не постаје 30°. Углови већи од милијарду степени се одбијају. То је ограничење аритметике, а не геометрије: размак између бројева које рачунар може да сачува расте са њиховом величином, а после приближно четири и по милијарде степени тај размак је већи од толеранције од милионитог дела степена, па свођење више не чува довољно детаља за именовање угла. Граница од милијарду оставља резерву испод те тачке. ### Најчешће постављана питања **За шта се користи јединична кружница?** Она претвара синус и косинус у координате. Очитавање једне тачке са кружнице истовремено даје обе вредности, а слика показује зашто се оне понављају после сваког пуног обртаја и зашто им се знаци мењају од једног квадранта до другог. **Која је тачна вредност sin 30°?** Једна половина. cos 30° је √3/2, приближно 0,8660254, а tan 30° је √3/3, приближно 0,57735027. **Зашто tan 90° није дефинисан?** Тангенс је количник синуса и косинуса, а cos 90° је 0. Дељење нулом нема резултат. Страница проналази пол именовањем угла, а не провером да ли је израчунати тангенс имао велику вредност, јер је стрм тангенс непосредно испред 90° обичан број. **Шта је референтни угао?** То је оштар угао између зрака и x-осе, па се увек налази између 0° и 90°. 150°, 210° и 330° сви имају референтни угао 30°, због чега њихови синуси и косинуси имају исте три величине и разликују се само по знаку. **Да ли негативан угао функционише?** Да. Негативан угао се окреће у смеру казаљке на сату. −30° показује у истом смеру као 330°, па страница враћа тачку (√3/2, −1/2) и четврти квадрант. **Зашто страница приказује угао два пута?** 750° и 30° пресецају кружницу у истој тачки, али не представљају исту ротацију. Страница понавља унети угао, претворен у другу јединицу, и поред њега приказује сведени угао.