Laplace Distribution Calculator

Introduction

Laplace distribution, หรือที่เรียกว่าการแจกแจงแบบสองชั้น, เป็นการแจกแจงความน่าจะเป็นต่อเนื่องที่ตั้งชื่อตาม Pierre-Simon Laplace มันมีความสมมาตรรอบค่าเฉลี่ย (พารามิเตอร์ตำแหน่ง) และมีหางที่หนักกว่าการแจกแจงปกติ เครื่องคำนวณนี้ช่วยให้คุณสามารถคำนวณฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็น (PDF) ของการแจกแจง Laplace สำหรับพารามิเตอร์ที่กำหนดและแสดงภาพรูปร่างของมัน

How to Use This Calculator

1. ป้อนพารามิเตอร์ตำแหน่ง (μ) ซึ่งแสดงถึงค่าเฉลี่ยของการแจกแจง
2. ป้อนพารามิเตอร์ขนาด (b) ซึ่งกำหนดการกระจายของการแจกแจง (b > 0)
3. เครื่องคำนวณจะแสดงค่าฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็น (PDF) ที่ x = 0 และแสดงกราฟของการแจกแจง

หมายเหตุ: พารามิเตอร์ขนาดต้องเป็นบวกอย่างเคร่งครัด (b > 0)

Formula

ฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็น (PDF) ของการแจกแจง Laplace ถูกกำหนดโดย:

$f(x|\mu,b) = \frac{1}{2b} \exp\left(-\frac{|x-\mu|}{b}\right)$

โดยที่:

• x คือ ตัวแปร
• μ (mu) คือ พารามิเตอร์ตำแหน่ง
• b คือ พารามิเตอร์ขนาด (b > 0)

Calculation

เครื่องคำนวณใช้สูตรนี้ในการคำนวณค่าฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นที่ x = 0 ตามข้อมูลที่ผู้ใช้ป้อน นี่คือคำอธิบายทีละขั้นตอน:

1. ตรวจสอบข้อมูล: ตรวจสอบให้แน่ใจว่าพารามิเตอร์ขนาด b เป็นบวก
2. คำนวณ |x - μ|: ในกรณีนี้คือ |0 - μ| = |μ|
3. คำนวณเทอมเชิงฟังก์ชัน: $\exp(-|μ| / b)$
4. คำนวณผลลัพธ์สุดท้าย: $\frac{1}{2b} \exp(-|μ| / b)$

กรณีขอบที่ต้องพิจารณา:

• หาก b ≤ 0 ให้แสดงข้อความผิดพลาด
• สำหรับ |μ| ที่มีค่ามากหรือ b ที่มีค่าน้อยมาก ผลลัพธ์อาจใกล้เคียงกับศูนย์มาก
• สำหรับ μ = 0 ฟังก์ชัน PDF จะถึงค่ามากสุดที่ 1/(2b) ที่ x = 0

Use Cases

การแจกแจง Laplace มีการใช้งานหลายอย่างในสาขาต่างๆ:

1. การประมวลผลสัญญาณ: ใช้ในการจำลองและวิเคราะห์สัญญาณเสียงและภาพ

2. การเงิน: ใช้ในการจำลองผลตอบแทนทางการเงินและการประเมินความเสี่ยง

3. การเรียนรู้ของเครื่อง: ใช้ในกลไก Laplace สำหรับความเป็นส่วนตัวเชิงอนุกรมและในบางโมเดลการอนุมานเบย์

4. การประมวลผลภาษาธรรมชาติ: ใช้ในการสร้างโมเดลภาษาและงานจำแนกประเภทข้อความ

5. ธรณีวิทยา: ใช้ในการจำลองการแจกแจงของขนาดแผ่นดินไหว (กฎ Gutenberg-Richter)

Alternatives

ในขณะที่การแจกแจง Laplace เป็นประโยชน์ในหลายสถานการณ์ แต่มีการแจกแจงความน่าจะเป็นอื่นๆ ที่อาจเหมาะสมกว่าในบางสถานการณ์:

1. การแจกแจงปกติ (Gaussian): ใช้บ่อยกว่าในการจำลองปรากฏการณ์ทางธรรมชาติและข้อผิดพลาดในการวัด

2. การแจกแจง Cauchy: มีหางที่หนักกว่าการแจกแจง Laplace ใช้ในการจำลองข้อมูลที่มีค่าผิดปกติ

3. การแจกแจงเชิงเส้น: ใช้ในการจำลองเวลาระหว่างเหตุการณ์ในกระบวนการ Poisson

4. การแจกแจง t ของ Student: มักใช้ในการทดสอบสมมติฐานและการจำลองผลตอบแทนทางการเงิน

5. การแจกแจงโลจิสติก: มีรูปร่างคล้ายกับการแจกแจงปกติแต่มีหางที่หนักกว่า

History

การแจกแจง Laplace ถูกนำเสนอโดย Pierre-Simon Laplace ในบันทึกของเขาในปี 1774 "เกี่ยวกับความน่าจะเป็นของสาเหตุของเหตุการณ์" อย่างไรก็ตาม การแจกแจงนี้ได้รับความสำคัญมากขึ้นในศตวรรษที่ 20 ด้วยการพัฒนาสถิติทางคณิตศาสตร์

เหตุการณ์สำคัญในประวัติศาสตร์ของการแจกแจง Laplace:

1. 1774: Pierre-Simon Laplace แนะนำการแจกแจงในงานของเขาเกี่ยวกับทฤษฎีความน่าจะเป็น
2. 1930s: การแจกแจงถูกค้นพบใหม่และนำไปใช้ในหลายสาขา รวมถึงเศรษฐศาสตร์และวิศวกรรม
3. 1960s: การแจกแจง Laplace ได้รับความสำคัญในสถิติที่แข็งแกร่งในฐานะทางเลือกสำหรับการแจกแจงปกติ
4. 1990s-ปัจจุบัน: การใช้งานที่เพิ่มขึ้นในการเรียนรู้ของเครื่อง การประมวลผลสัญญาณ และการจำลองทางการเงิน

Examples

นี่คือตัวอย่างโค้ดในการคำนวณ PDF ของการแจกแจง Laplace:

1' Excel VBA Function for Laplace Distribution PDF
2Function LaplacePDF(x As Double, mu As Double, b As Double) As Double
3    If b <= 0 Then
4        LaplacePDF = CVErr(xlErrValue)
5    Else
6        LaplacePDF = (1 / (2 * b)) * Exp(-Abs(x - mu) / b)
7    End If
8End Function
9' Usage:
10' =LaplacePDF(0, 1, 2)
11

1import math
2
3def laplace_pdf(x, mu, b):
4    if b <= 0:
5        raise ValueError("Scale parameter must be positive")
6    return (1 / (2 * b)) * math.exp(-abs(x - mu) / b)
7
8## Example usage:
9location = 1.0
10scale = 2.0
11x = 0.0
12pdf_value = laplace_pdf(x, location, scale)
13print(f"PDF value at x={x}: {pdf_value:.6f}")
14

1function laplacePDF(x, mu, b) {
2  if (b <= 0) {
3    throw new Error("Scale parameter must be positive");
4  }
5  return (1 / (2 * b)) * Math.exp(-Math.abs(x - mu) / b);
6}
7
8// Example usage:
9const location = 1;
10const scale = 2;
11const x = 0;
12const pdfValue = laplacePDF(x, location, scale);
13console.log(`PDF value at x=${x}: ${pdfValue.toFixed(6)}`);
14

1public class LaplacePDF {
2    public static double laplacePDF(double x, double mu, double b) {
3        if (b <= 0) {
4            throw new IllegalArgumentException("Scale parameter must be positive");
5        }
6        return (1 / (2 * b)) * Math.exp(-Math.abs(x - mu) / b);
7    }
8
9    public static void main(String[] args) {
10        double location = 1.0;
11        double scale = 2.0;
12        double x = 0.0;
13        double pdfValue = laplacePDF(x, location, scale);
14        System.out.printf("PDF value at x=%.1f: %.6f%n", x, pdfValue);
15    }
16}
17

ตัวอย่างเหล่านี้แสดงให้เห็นถึงวิธีการคำนวณ PDF ของการแจกแจง Laplace สำหรับพารามิเตอร์ที่กำหนด คุณสามารถปรับฟังก์ชันเหล่านี้ให้เหมาะสมกับความต้องการเฉพาะของคุณหรือรวมเข้ากับระบบการวิเคราะห์ทางสถิติที่ใหญ่กว่า

Numerical Examples

1. การแจกแจง Laplace มาตรฐาน:

   • ตำแหน่ง (μ) = 0
   • ขนาด (b) = 1
   • PDF ที่ x = 0: 0.500000

2. การแจกแจง Laplace ที่เลื่อน:

   • ตำแหน่ง (μ) = 2
   • ขนาด (b) = 1
   • PDF ที่ x = 0: 0.183940

3. การแจกแจง Laplace ที่ขยาย:

   • ตำแหน่ง (μ) = 0
   • ขนาด (b) = 3
   • PDF ที่ x = 0: 0.166667

4. การแจกแจง Laplace ที่เลื่อนและขยาย:

   • ตำแหน่ง (μ) = -1
   • ขนาด (b) = 0.5
   • PDF ที่ x = 0: 0.367879

References

1. Kotz, S., Kozubowski, T., & Podgorski, K. (2001). The Laplace Distribution and Generalizations. Birkhäuser, Boston, MA.
2. Keynes, J. M. (1911). The Principal Averages and the Laws of Error which Lead to Them. Journal of the Royal Statistical Society, 74(3), 322-331.
3. Peng, L., & Xu, X. (2019). The Laplace Mechanism in Differential Privacy. IEEE Access, 7, 39891-39900.
4. Norton, M. P., & Karczub, D. G. (2003). Fundamentals of Noise and Vibration Analysis for Engineers. Cambridge University Press.
5. "Laplace Distribution." Wikipedia, Wikimedia Foundation, https://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_distribution. Accessed 2 Aug. 2024.