เครื่องคำนวณการกระจายทวินาม - เครื่องมือความน่าจะเป็นฟรี

เครื่องคำนวณการแจกแจงทวินามคืออะไร?

เครื่องคำนวณการแจกแจงทวินามหาความน่าจะเป็นที่จะได้จำนวนความสำเร็จที่แน่นอนจากการทดลองอิสระจำนวนคงที่ เมื่อการทดลองแต่ละครั้งมีโอกาสสำเร็จเท่ากัน ใช้ในสถิติ การควบคุมคุณภาพ การแพทย์ และทุกสาขาที่ศึกษาผลลัพธ์แบบใช่หรือไม่ซ้ำ ๆ

แนวคิดพื้นฐานคือ การแจกแจงทวินาม ซึ่งเป็นแบบจำลองความน่าจะเป็นสำหรับนับจำนวนความสำเร็จจากการทดลองซ้ำ ๆ ที่แต่ละครั้งมีผลลัพธ์เพียงสองแบบ โดยทั่วไปเรียกว่าความสำเร็จและความล้มเหลว

สูตรการแจกแจงทวินาม

ความน่าจะเป็นที่จะได้ความสำเร็จพอดี k ครั้งจากการทดลอง n ครั้งคือ:

$P(X = k) = \binom{n}{k} \, p^k (1-p)^{n-k}$

สัญลักษณ์แต่ละตัวหมายถึง:

• n — จำนวนครั้งของการทดลอง
• k — จำนวนความสำเร็จที่ต้องการหาความน่าจะเป็น
• p — ความน่าจะเป็นของความสำเร็จในการทดลองหนึ่งครั้ง เป็นค่าระหว่าง 0 และ 1
• $\binom{n}{k}$ — สัมประสิทธิ์ทวินาม ซึ่งเป็นจำนวนวิธีที่แตกต่างกันในการเลือกความสำเร็จ k ครั้งจากการทดลอง n ครั้ง มีค่าเท่ากับ $\frac{n!}{k!(n-k)!}$

การทดลองแต่ละครั้งต้องเป็นอิสระต่อกัน หมายความว่าผลลัพธ์ของการทดลองหนึ่งครั้งไม่เปลี่ยนโอกาสของอีกครั้ง และความน่าจะเป็นของความสำเร็จ p ต้องคงเดิมในการทดลองทั้งหมด การทดลองหนึ่งครั้งที่มีผลลัพธ์เป็นไปได้สองแบบ เช่น การโยนเหรียญหนึ่งครั้ง เรียกว่า การทดลองแบร์นูลลี การแจกแจงทวินามคือผลรวมของการทดลองแบร์นูลลี n ครั้ง

วิธีคำนวณความน่าจะเป็นแบบทวินาม

1. ระบุค่า n, k และ p
2. คำนวณสัมประสิทธิ์ทวินาม $\binom{n}{k}$ ซึ่งเป็นจำนวนวิธีจัดให้มีความสำเร็จ k ครั้งในการทดลอง n ครั้ง
3. ยกกำลัง p ด้วยเลขชี้กำลัง k
4. ยกกำลัง (1 − p) ด้วยเลขชี้กำลัง (n − k)
5. นำตัวเลขทั้งสามค่ามาคูณกัน

เครื่องคำนวณในหน้านี้ทำขั้นตอนเหล่านี้โดยอัตโนมัติ ป้อนค่า n, p และ k แล้วระบบจะแสดงค่า P(X = k) พร้อมแผนภูมิแท่งที่แสดงความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทุกค่า ตั้งแต่ความสำเร็จ 0 ครั้งจนถึง n ครั้ง

ตัวอย่างพร้อมวิธีทำ

ตัวอย่าง 1: การโยนเหรียญ

โยนเหรียญที่ยุติธรรม 10 ครั้ง ความน่าจะเป็นที่จะออกหัวพอดี 3 ครั้งเป็นเท่าใด?

• n = 10, p = 0.5, k = 3
• $\binom{10}{3} = 120$
• $0.5^3 = 0.125$
• $0.5^{7} = 0.0078125$
• ผลลัพธ์: 120 × 0.125 × 0.0078125 ≈ 0.1172 หรือประมาณ 11.72%

ตัวอย่าง 2: การควบคุมคุณภาพ

โรงงานตรวจสอบสินค้า 100 รายการ แต่ละรายการมีโอกาส 2% ที่จะมีข้อบกพร่อง ความน่าจะเป็นที่สินค้าทั้ง 100 รายการไม่มีข้อบกพร่องเป็นเท่าใด?

• n = 100, p = 0.02, k = 0
• เนื่องจาก k = 0 สูตรจึงลดรูปเป็น $(1-p)^n = 0.98^{100}$
• ผลลัพธ์: ≈ 0.1326 หรือประมาณ 13.26%

ตัวอย่าง 3: การตรวจโรค

เมืองหนึ่งตรวจคน 1,000 คนเพื่อหาโรคที่ติดเชื้อในประชากร 0.1% (p = 0.001) ความน่าจะเป็นที่มีผู้ติดเชื้อพอดี 5 คนจากทั้งหมด 1,000 คนเป็นเท่าใด?

• n = 1000, p = 0.001, k = 5
• $\binom{1000}{5} = 8{,}250{,}291{,}250{,}200$
• $0.001^5 = 1 \times 10^{-15}$
• $0.999^{995} \approx 0.3695$
• ผลลัพธ์: 8,250,291,250,200 × 1e-15 × 0.3695 ≈ 0.00305 หรือประมาณ 0.30% (ค่าที่แม่นยำคือ 0.0030488 หรือ 0.30488%)

ค่าเฉลี่ยและความแปรปรวน

สำหรับการแจกแจงทวินามที่มีพารามิเตอร์ n และ p:

• ค่าเฉลี่ย (ค่าคาดหมาย): E(X) = np
• ความแปรปรวน: Var(X) = np(1 − p)
• ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน: σ = √[np(1 − p)]

ค่าเฉลี่ยบอกจำนวนความสำเร็จโดยเฉลี่ยที่คาดว่าจะเกิดขึ้นเมื่อทำการทดลองซ้ำหลายครั้ง ในตัวอย่าง 1 ค่าเฉลี่ยคือ 10 × 0.5 = หัว 5 ครั้ง

ข้อมูลที่เครื่องคำนวณรับได้

• n ต้องเป็นจำนวนเต็ม 1 ขึ้นไป หากป้อนทศนิยม ระบบจะปัดเป็นจำนวนการทดลองเต็มจำนวนที่ใกล้ที่สุด ดังนั้น 10.9 จะถือเป็น 11
• p ต้องอยู่ระหว่าง 0 และ 1 โดยรวมค่าปลายทั้งสองด้วย
• k ต้องเป็นจำนวนเต็ม 0 ขึ้นไป และต้องไม่มากกว่า n การได้ความสำเร็จ 8 ครั้งจากการทดลอง 5 ครั้งเป็นไปไม่ได้ ดังนั้นเครื่องคำนวณจะแสดงข้อผิดพลาดแทนตัวเลข

หากเว้นช่องใดว่างไว้ เครื่องคำนวณจะไม่แสดงผลลัพธ์หรือแผนภูมิใด ๆ แทนที่จะเดาค่า

การแจกแจงทวินามใช้ได้เมื่อใด

การแจกแจงทวินามเหมาะกับสถานการณ์เมื่อเงื่อนไขทั้งสี่ข้อต่อไปนี้เป็นจริง:

1. จำนวนครั้งของการทดลอง n ถูกกำหนดไว้ล่วงหน้า
2. การทดลองแต่ละครั้งมีผลลัพธ์เพียงสองแบบ: ความสำเร็จหรือความล้มเหลว
3. ความน่าจะเป็นของความสำเร็จ p เท่ากันในการทดลองทุกครั้ง
4. การทดลองแต่ละครั้งเป็นอิสระจากกัน

การหยิบไพ่จากสำรับโดยไม่ใส่คืนทำให้เงื่อนไขความเป็นอิสระไม่เป็นจริง เพราะการนำไพ่ออกจะเปลี่ยนโอกาสของการหยิบครั้งถัดไป สถานการณ์นี้ควรใช้ การแจกแจงไฮเพอร์จีโอเมตริก แทน

การแจกแจงที่เกี่ยวข้อง

• การแจกแจงปัวซง: ใช้ประมาณการแจกแจงทวินามเมื่อ n มีค่ามากและ p มีค่าน้อย ทำให้จำนวนความสำเร็จเฉลี่ย (np) ยังคงอยู่ในระดับปานกลาง มักใช้สร้างแบบจำลองเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นไม่บ่อย เช่น กรณีโรคในตัวอย่าง 3
• การแจกแจงปกติ: เมื่อ n มีค่ามาก และ p ไม่ใกล้ 0 หรือ 1 มากเกินไป การแจกแจงทวินามจะมีรูปร่างคล้ายระฆังโดยประมาณ และสามารถประมาณด้วยการแจกแจงปกติที่มีค่าเฉลี่ย np และความแปรปรวน np(1 − p)
• การแจกแจงไฮเพอร์จีโอเมตริก: ใช้แทนการแจกแจงทวินามเมื่อสุ่มตัวอย่างโดยไม่ใส่คืนจากประชากรจำกัด

คำถามที่พบบ่อย

เครื่องคำนวณการแจกแจงทวินามทำอะไร?

เครื่องคำนวณจะคำนวณความน่าจะเป็นที่จะได้ความสำเร็จพอดี k ครั้งจากการทดลองอิสระ n ครั้ง โดยแต่ละครั้งมีความน่าจะเป็นของความสำเร็จ p ตามสูตร P(X = k) = C(n, k) × p^k × (1 − p)^(n − k)

การแจกแจงทวินามแตกต่างจากการแจกแจงปกติอย่างไร?

การแจกแจงทวินามเป็นการแจกแจงไม่ต่อเนื่อง หมายความว่าให้เฉพาะจำนวนความสำเร็จที่เป็นจำนวนเต็มเท่านั้น ส่วนการแจกแจงปกติเป็นการแจกแจงต่อเนื่อง เมื่อ n มีค่ามาก การแจกแจงทวินามสามารถประมาณด้วยเส้นโค้งปกติที่มีค่าเฉลี่ย np และความแปรปรวน np(1 − p)

p สามารถเป็น 0 หรือ 1 ได้หรือไม่?

ได้ หาก p = 0 จะไม่มีการทดลองใดประสบความสำเร็จ ดังนั้น P(X = 0) = 1 หาก p = 1 การทดลองทุกครั้งจะประสบความสำเร็จ ดังนั้น P(X = n) = 1 ส่วนค่า k อื่น ๆ จะมีความน่าจะเป็น 0 ในกรณีเหล่านี้

การแจกแจงทวินามกับการแจกแจงแบร์นูลลีมีความสัมพันธ์กันอย่างไร?

การแจกแจงแบร์นูลลีอธิบายการทดลองหนึ่งครั้งที่มีผลลัพธ์สองแบบ (n = 1) การแจกแจงทวินามคือผลรวมของการทดลองแบร์นูลลีอิสระ n ครั้ง ดังนั้นการแจกแจงแบร์นูลลีจึงเป็นการแจกแจงทวินามที่มี n = 1

n สามารถมีค่ามากเพียงใดก่อนที่เครื่องคำนวณจะเริ่มคลาดเคลื่อน?

เครื่องคำนวณทำงานด้วยเลขคณิตมาตรฐานแบบความแม่นยำสองเท่า โดยคูณสามส่วนของสูตรโดยตรง และเปลี่ยนไปใช้ลอการิทึมเมื่อสัมประสิทธิ์ทวินามมีค่ามากกว่าจำนวนสูงสุดที่ชนิดข้อมูล double รองรับ ซึ่งเกิดขึ้นใกล้ n = 1,000 เมื่อ k ใกล้กับ n/2 ผลลัพธ์ยังคงถูกต้องหลังจากจุดดังกล่าว ความน่าจะเป็นที่น้อยกว่าประมาณ 1e-308 จะแสดงเป็น 0 เพราะชนิดข้อมูล double ไม่สามารถเก็บค่าได้

สัมประสิทธิ์ทวินามคำนวณอย่างไร?

สัมประสิทธิ์ทวินาม C(n, k) นับจำนวนวิธีเลือก k รายการจาก n รายการโดยไม่ขึ้นกับลำดับ มีค่าเท่ากับ n! / (k! × (n − k)!) เครื่องคำนวณจะค่อย ๆ สร้างค่านี้ทีละขั้น โดยคูณด้วยตัวประกอบหนึ่งแล้วหารด้วยตัวถัดไป จึงไม่จำเป็นต้องเก็บค่าแฟกทอเรียลทั้งหมด สำหรับ n ที่มีค่ามากมาก เครื่องคำนวณจะรวมค่าลอการิทึมของตัวประกอบเหล่านั้นแทน

เอกสารอ้างอิง

1. "Binomial Distribution." วิกิพีเดีย มูลนิธิวิกิมีเดีย https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_distribution.
2. Ross, Sheldon M. Introduction to Probability Models. Academic Press, 2014
3. Johnson, Norman L. และคณะ Discrete Distributions. Wiley Series in Probability and Statistics, 2005