เครื่องคำนวณการกระจายแบบปัวซง - คำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์

เครื่องคำนวณการแจกแจงปัวซงคืออะไร?

เครื่องคำนวณการแจกแจงปัวซงหาความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์จำนวนหนึ่งจะเกิดขึ้นในช่วงเวลา หรือบริเวณที่กำหนด โดยทราบความถี่เฉลี่ยของการเกิดเหตุการณ์นั้น ใช้เมื่อเหตุการณ์เกิดขึ้นทีละครั้ง เป็นอิสระต่อกัน และมีอัตราเฉลี่ยคงที่ ตัวอย่างทั่วไป ได้แก่ จำนวนสายโทรศัพท์ที่ศูนย์บริการได้รับในหนึ่งชั่วโมง หรือจำนวนการพิมพ์ผิดในหนึ่งหน้า

สูตรการแจกแจงปัวซง

การแจกแจงปัวซงให้ความน่าจะเป็นที่จะเกิดเหตุการณ์พอดี k ครั้ง เมื่ออัตราเฉลี่ยเท่ากับ λ (อักษรกรีกแลมบ์ดา):

$P(X = k) = \dfrac{e^{-\lambda} \lambda^{k}}{k!}$

สัญลักษณ์แต่ละตัวหมายถึง:

• λ (แลมบ์ดา) — จำนวนเหตุการณ์เฉลี่ยต่อช่วง เป็นพารามิเตอร์เพียงตัวเดียวของการแจกแจง
• k — จำนวนเหตุการณ์ที่แน่นอนซึ่งกำลังคำนวณความน่าจะเป็น ต้องเป็นจำนวนเต็ม 0 ขึ้นไป
• e — จำนวนของออยเลอร์ ซึ่งเป็นค่าคงที่ มีค่าประมาณ 2.71828
• k! — “แฟกทอเรียลของ k” คือผลคูณของจำนวนเต็มทั้งหมดตั้งแต่ 1 ถึง k ตัวอย่างเช่น 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 ตามนิยาม 0! = 1

สูตรนี้ใช้เพียง λ และ k ไม่ต้องใช้จำนวนครั้งทดลองทั้งหมด ต่างจากการแจกแจงทวินาม

วิธีคำนวณความน่าจะเป็นแบบปัวซง

1. กำหนด λ ซึ่งเป็นจำนวนเหตุการณ์เฉลี่ยในช่วงที่ศึกษา
2. กำหนด k ซึ่งเป็นจำนวนเหตุการณ์ที่แน่นอนที่ต้องการหาความน่าจะเป็น
3. ยก e กำลังลบ λ ซึ่งให้ผลเป็น e^(−λ)
4. ยก λ กำลัง k ซึ่งให้ผลเป็น λ^k
5. หา k! หรือแฟกทอเรียลของ k
6. คูณผลลัพธ์จากขั้นตอน 3 และ 4 แล้วหารด้วยผลลัพธ์จากขั้นตอน 5

ค่าที่ได้คือความน่าจะเป็นระหว่าง 0 ถึง 1 คูณค่านี้ด้วย 100 เพื่อแสดงเป็นเปอร์เซ็นต์

ตัวอย่างพร้อมวิธีทำ

ศูนย์บริการได้รับสายโทรศัพท์เฉลี่ย 5 สายต่อชั่วโมง (λ = 5) ความน่าจะเป็นที่จะได้รับสายพอดี 3 สายในชั่วโมงหนึ่งที่กำหนด (k = 3) เป็นเท่าใด?

1. e^(−5) ≈ 0.006738
2. 5^3 = 125
3. 3! = 3 × 2 × 1 = 6
4. คูณ: 0.006738 × 125 ≈ 0.842243
5. หารด้วย 6: 0.842244 ÷ 6 ≈ 0.140374

ความน่าจะเป็นที่จะได้รับสายพอดี 3 สายในชั่วโมงนั้นมีค่าประมาณ 0.140 หรือ 14%

ตัวอย่างเพิ่มเติม

การใช้งานการแจกแจงปัวซง

การแจกแจงปัวซงใช้จำลองจำนวนเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นไม่บ่อยและเป็นอิสระต่อกัน การใช้งานทั่วไป ได้แก่:

• ศูนย์บริการและบริการลูกค้า: คาดการณ์จำนวนสายโทรศัพท์หรือแชตที่เข้ามาต่อชั่วโมง
• การผลิต: ประมาณจำนวนตำหนิในผลิตภัณฑ์หนึ่งชุดการผลิต
• การประกันภัย: ประมาณจำนวนเคลมที่จะเข้ามาในช่วงเวลาที่กำหนด
• ชีววิทยาและการแพทย์: จำลองจำนวนการกลายพันธุ์หรือการแพร่กระจายของโรคที่พบไม่บ่อย
• ฟิสิกส์: อธิบายการสลายตัวของสารกัมมันตรังสี ซึ่งอะตอมแต่ละอะตอมสลายตัวอย่างเป็นอิสระด้วยอัตราเฉลี่ยคงที่
• วิศวกรรมจราจรและเครือข่าย: ประมาณการมาถึงของยานพาหนะที่ทางแยก หรือคำขอที่เข้ามายังเซิร์ฟเวอร์

เงื่อนไขสำหรับใช้การแจกแจงปัวซง

การแจกแจงปัวซงเหมาะกับสถานการณ์ก็ต่อเมื่อเป็นไปตามเงื่อนไขทั้งหมดต่อไปนี้:

• เหตุการณ์เกิดขึ้นทีละครั้ง เหตุการณ์สองเหตุการณ์ไม่สามารถเกิดขึ้นในขณะเดียวกันพอดี
• เหตุการณ์เกิดขึ้นอย่างเป็นอิสระต่อกัน เหตุการณ์หนึ่งไม่ทำให้เหตุการณ์ถัดไปมีโอกาสเกิดมากขึ้นหรือน้อยลง
• อัตราเฉลี่ย λ คงที่ตลอดช่วงที่ศึกษา

หากอัตราเปลี่ยนแปลงตามเวลาหรือเหตุการณ์มักเกิดรวมกลุ่มกัน การแจกแจงปัวซงแบบธรรมดาจะอธิบายข้อมูลได้ไม่ดี

ปัวซงเทียบกับการแจกแจงที่เกี่ยวข้อง

• การแจกแจงทวินาม: ใช้เมื่อมีจำนวนครั้งทดลองที่กำหนดแน่นอน และทราบความน่าจะเป็นของความสำเร็จในแต่ละครั้ง เช่น การโยนเหรียญ 20 ครั้ง การแจกแจงปัวซงคือรูปแบบที่การแจกแจงทวินามเข้าใกล้เมื่อจำนวนครั้งทดลองเพิ่มขึ้นมาก และความน่าจะเป็นของความสำเร็จต่อครั้งลดลงเข้าใกล้ศูนย์ ขณะที่ผลคูณของทั้งสองค่ายังคงใกล้เคียง λ
• การแจกแจงปกติ: เมื่อ λ มีค่ามาก โดยประมาณมากกว่า 20 การแจกแจงปัวซงจะมีลักษณะใกล้เคียงการแจกแจงปกติรูปโค้งระฆังที่มีค่าเฉลี่ย λ และความแปรปรวน λ
• การแจกแจงเอ็กซ์โพเนนเชียล: การแจกแจงปัวซงนับจำนวนเหตุการณ์ในช่วงเวลาคงที่ ส่วนการแจกแจงเอ็กซ์โพเนนเชียลอธิบายเวลารอระหว่างเหตุการณ์เหล่านั้น

หมายเหตุเกี่ยวกับประวัติความเป็นมา

ซีเมอง เดอนี ปัวซง นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส เป็นผู้เสนอการแจกแจงนี้ใน 1837 ในหนังสือเกี่ยวกับการประยุกต์ความน่าจะเป็นกับคำตัดสินของศาล ช่วงแรกการแจกแจงนี้ได้รับความสนใจไม่มาก การใช้งานเพิ่มขึ้นในช่วงต้นศตวรรษที่ 20 หลังจากนักสถิติ เช่น ลาดิสเลาส์ บอร์ตคีวิช และโรนัลด์ ฟิชเชอร์ นำไปใช้กับข้อมูลการนับจริง รวมถึงการศึกษาที่มีชื่อเสียงเกี่ยวกับทหารปรัสเซียที่เสียชีวิตจากการถูกม้าเตะ

คำถามที่พบบ่อย

แลมบ์ดา (λ) ในการแจกแจงปัวซงหมายถึงอะไร? แลมบ์ดาคือจำนวนเหตุการณ์เฉลี่ยที่คาดว่าจะเกิดขึ้นในช่วงที่ศึกษา และยังเป็นความแปรปรวนของการแจกแจงด้วย ดังนั้น λ ที่มากขึ้นจึงหมายถึงทั้งจำนวนเฉลี่ยที่สูงขึ้นและการกระจายของผลลัพธ์ที่เป็นไปได้กว้างขึ้น

k หรือ λ เป็นค่าติดลบหรือเศษส่วนได้หรือไม่? λ ต้องมากกว่า 0 แต่เป็นทศนิยมได้ เช่น 2.5 เหตุการณ์ต่อชั่วโมง ส่วน k ต้องเป็นจำนวนเต็ม 0 ขึ้นไป เนื่องจากใช้แทนการนับเหตุการณ์จริง จึงเป็นค่าติดลบหรือเศษส่วนไม่ได้

การแจกแจงปัวซงแตกต่างจากการแจกแจงทวินามอย่างไร? การแจกแจงทวินามต้องมีจำนวนครั้งทดลองและความน่าจะเป็นของความสำเร็จต่อครั้งที่กำหนดแน่นอน ส่วนการแจกแจงปัวซงต้องการเพียงอัตราเฉลี่ย และใช้กับเหตุการณ์ที่ในหลักการอาจเกิดขึ้นกี่ครั้งก็ได้

ควรใช้การแจกแจงปกติแทนเมื่อใด? เมื่อ λ มีค่ามาก โดยทั่วไปมากกว่าประมาณ 20 การแจกแจงปกติที่มีค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนเท่ากันจะประมาณการแจกแจงปัวซงได้ใกล้เคียง และมักคำนวณด้วยมือได้ง่ายกว่า

เหตุใดเครื่องคำนวณจึงแสดงตัวเลขในรูปสัญกรณ์วิทยาศาสตร์ในบางครั้ง? โดยปกติจะแสดงผลลัพธ์เป็นทศนิยม 6 ตำแหน่ง เมื่อความน่าจะเป็นน้อยกว่า 0.0001 การแสดงทศนิยม 6 ตำแหน่งจะปัดค่าเป็น 0.000000 และทำให้มองไม่เห็นว่าค่านั้นเล็กเพียงใด เครื่องคำนวณจึงเปลี่ยนไปใช้สัญกรณ์วิทยาศาสตร์แทน สำหรับ λ = 20 และ k = 1 จะแสดง 4.122307e-8 ซึ่งหมายถึง 0.00000004122307

ค่าที่เครื่องคำนวณรับมีข้อจำกัดหรือไม่? มี λ ต้องมากกว่า 0 และไม่เกิน 700 ส่วน k ต้องเป็นจำนวนเต็มตั้งแต่ 0 ถึง 1000 หากอยู่นอกขอบเขตดังกล่าว เครื่องคำนวณจะแสดงข้อผิดพลาด ข้อจำกัดเหล่านี้ทำให้ผลลัพธ์อยู่ในช่วงตัวเลขที่คอมพิวเตอร์จัดเก็บได้ และทำให้แผนภูมิมีจำนวนแท่งที่อ่านได้ง่าย

การแจกแจงปัวซงรองรับเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นพร้อมกันมากกว่าหนึ่งเหตุการณ์หรือไม่? ไม่รองรับ แบบจำลองนี้ตั้งสมมติฐานว่าเหตุการณ์เกิดขึ้นทีละครั้ง หากมีเหตุการณ์สองเหตุการณ์เกิดขึ้นพร้อมกันเป็นประจำ การแจกแจงแบบอื่นจะเหมาะกับข้อมูลมากกว่า

เอกสารอ้างอิง

1. Poisson, Siméon Denis. Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile. Paris, 1837.
2. Haight, Frank A. Handbook of the Poisson Distribution. New York: John Wiley & Sons, 1967.
3. "Poisson Distribution." NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, section 1.3.6.6.19. https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda366j.htm
4. Johnson, Norman L., Adrienne W. Kemp, and Samuel Kotz. Univariate Discrete Distributions. John Wiley & Sons, 2005.