Công cụ tính độ lệch chuẩn từ khoảng tin cậy

Công cụ này chuyển đổi một khoảng tin cậy đã công bố ngược trở lại thành sai số chuẩn và độ lệch chuẩn. Nó cần hai cận của khoảng, cỡ mẫu và mức tin cậy. Các bài báo khoa học thường chỉ công bố giá trị trung bình cùng khoảng tin cậy mà không nêu độ lệch chuẩn, trong khi phân tích tổng hợp và tính toán năng lực thống kê cần giá trị đó.

Công cụ này tính gì

Một khoảng tin cậy cho giá trị trung bình thường được xây dựng như sau:

CI = estimate ± Z × (σ / √n)

Phần sau dấu ± là sai số biên. Nó bằng giá trị tới hạn Z nhân với sai số chuẩn. Vì khoảng đối xứng, nên một nửa độ rộng của nó chính là sai số biên. Đảo ngược công thức này sẽ tìm lại được sai số chuẩn, rồi từ đó tìm ra độ lệch chuẩn.

Công thức

width = upper bound − lower bound

SE = width ÷ (2 × Z)

σ = SE × √n

SE là sai số chuẩn của giá trị trung bình. σ là độ lệch chuẩn. Z là giá trị tới hạn hai phía của phân phối chuẩn tắc ứng với mức tin cậy đã cho.

Giá trị tới hạn

Với bất kỳ mức tin cậy nào khác, Z là giá trị để lại một nửa xác suất còn lại ở mỗi đuôi phân phối. Công cụ sẽ tự tính Z cho bất kỳ mức tin cậy nào được nhập vào.

Ví dụ

Một nghiên cứu công bố chênh lệch trung bình là −2.6 với khoảng tin cậy 95% từ −5.2 đến −0.01, dựa trên 78 người tham gia.

1. Độ rộng = −0.01 − (−5.2) = 5.19
2. Z cho mức tin cậy 95% = 1.96
3. SE = 5.19 ÷ (2 × 1.96) = 1.324
4. σ = 1.324 × √78 = 1.324 × 8.832 = 11.69

Độ lệch chuẩn xấp xỉ 11.69.

Khi nào phương pháp này chỉ là gần đúng

Công thức trên giả định khoảng đối xứng quanh giá trị ước lượng và được xây dựng từ phân phối chuẩn. Có hai trường hợp phá vỡ giả định này.

Mẫu nhỏ thường dùng phân phối t thay vì phân phối chuẩn. Giá trị tới hạn t lớn hơn, nên dùng Z sẽ làm độ lệch chuẩn bị ước lượng thấp hơn thực tế một chút. Khoảng cách này thu hẹp dần khi cỡ mẫu tăng lên và trở nên nhỏ khi cỡ mẫu vượt quá khoảng 30 quan sát.

Khoảng tin cậy cho các tỷ số, chẳng hạn tỷ số chênh (odds ratio) hay tỷ số nguy cơ (hazard ratio), đối xứng trên thang logarit chứ không phải trên thang gốc. Các cận đó phải được chuyển đổi bằng logarit trước khi áp dụng công thức này.

Nếu ước lượng điểm không nằm ở điểm giữa của khoảng, công cụ sẽ đánh dấu khoảng đó là không đối xứng và kết quả nên được xem là một giá trị ước tính.

Câu hỏi thường gặp

Sự khác biệt giữa sai số chuẩn và độ lệch chuẩn là gì?

Độ lệch chuẩn mô tả mức độ phân tán của từng giá trị riêng lẻ. Sai số chuẩn mô tả độ chính xác của việc ước lượng giá trị trung bình. Hai đại lượng này liên hệ với nhau qua SE = σ / √n, nên sai số chuẩn giảm dần khi cỡ mẫu tăng, còn độ lệch chuẩn thì không đổi theo cỡ mẫu.

Vì sao lại chia cho 2Z thay vì Z?

Toàn bộ độ rộng bao phủ cả hai phía của ước lượng. Một sai số biên chỉ bằng một nửa độ rộng, nên nửa độ rộng đó được chia cho Z, tương đương với việc chia toàn bộ độ rộng cho 2Z.

Có thể dùng công thức này với khoảng tin cậy dựa trên phân phối t không?

Có, nhưng cần thay Z bằng giá trị tới hạn t ứng với n − 1 bậc tự do. Dùng Z cho mẫu nhỏ sẽ cho ra độ lệch chuẩn hơi thấp so với thực tế.

Nếu chỉ công bố sai số biên thì sao?

Nhân đôi giá trị đó để có độ rộng, rồi thực hiện các bước tính như trên.

Ước lượng điểm có ảnh hưởng đến kết quả không?

Không. Chỉ có độ rộng, mức tin cậy và cỡ mẫu tham gia vào công thức. Ước lượng điểm chỉ được dùng để kiểm tra xem khoảng có đối xứng hay không.