حاسبة خطة الادخار: القيمة المستقبلية مع الإيداعات

حاسبة خطة الادخار

تقدّر حاسبة خطة الادخار قيمة حساب الادخار أو الاستثمار بعد عدد مختار من السنوات. وتجمع بين إيداع أولي لمرة واحدة ومساهمة منتظمة تُدفع شهريًا أو فصليًا أو سنويًا، وتنمّي كليهما بفائدة مركبة.

ما الذي يفعله الحاسِب

تتطلب الحاسبة سبعة مدخلات: الإيداع الأولي، والمساهمة المنتظمة، وتواتر دفع المساهمات (شهريًا أو فصليًا أو سنويًا)، وما إذا كانت كل مساهمة تُودَع في بداية الفترة أو نهايتها، وسعر الفائدة السنوي، وتواتر احتساب الفائدة المركبة، وعدد السنوات التي تنمو فيها الأموال.

تعرض ثلاثة أرقام: القيمة المستقبلية (الرصيد النهائي)، وإجمالي المساهمات (الإيداع الأولي مضافًا إليه كل إيداع منتظم)، وإجمالي الفائدة المكتسبة (الفرق بينهما). ويعرض مخطط الرصيد في نهاية كل فترة مساهمة.

يمكن أن يتراوح الإيداع الأولي من 0 US$ إلى 1 US$ تريليون، وأن تتراوح المساهمة من 0 US$ إلى 1 US$ مليار لكل فترة. ويمكن أن يتراوح سعر الفائدة من 0% إلى 100%. ويجب أن يكون عدد السنوات أكبر من 0 ولا يتجاوز 100. ويجب أن يتجاوز أحد الإيداع والمساهمة على الأقل 0 US$.

كيفية حساب القيمة المستقبلية لخطة ادخار

تُجمع نتيجتان قياسيتان، موصوفتان كلتاهما في مقالتي ويكيبيديا «القيمة المستقبلية» و«الدفعات السنوية».

ينمو الإيداع الأولي بفائدة مركبة فقط:

FV(الإيداع) = P₀ × (1 + i)ˣ

ينمو تدفق الإيداعات المنتظمة باعتباره دفعات سنوية:

FV(المساهمات) = PMT × (1 + i)ˣ⁻ᴺ × A

• P₀ هو الإيداع الأولي.
• PMT هي المساهمة المنتظمة.
• i هو سعر الفائدة لفترة مساهمة واحدة.
• x هو الأفق مقاسًا بفترات المساهمة (السنوات × عدد الفترات في السنة).
• N هو عدد الإيداعات التي أُجريت فعليًا.
• A هو عامل الدفعات السنوية، أي القيمة المستقبلية لإيداع 1 US$ في كل فترة لمدة N من الفترات.

يعتمد عامل الدفعات السنوية على توقيت الإيداعات:

يحقق الإيداع في بداية كل فترة فائدة لمدة فترة إضافية، ومنها يأتي العامل الإضافي (1 + i). وعندما يكون السعر 0%، يكون عامل الدفعات السنوية مساويًا لـ N؛ إذ تتجمع الإيداعات من دون نمو.

القيمة المستقبلية هي مجموع الجزأين. وإجمالي الفائدة هو القيمة المستقبلية مطروحًا منها كل ما دُفع.

عندما يختلف تواتر الفائدة المركبة عن تواتر المساهمات

قد تُحتسب الفائدة المركبة بوتيرة أكثر أو أقل من وتيرة الإيداعات، مثل الاحتساب الشهري للفائدة المركبة مع إيداعات فصلية. تحوّل الحاسبة سعر الفائدة السنوي الاسمي r، المحتسب مركبًا n مرة في السنة، إلى السعر الفعلي لفترة مساهمة واحدة (انظر مقال ويكيبيديا «سعر الفائدة الفعلي»):

i = (1 + r/n)^(n/m) − 1

حيث إن m هو عدد المساهمات في السنة. عند سعر سنوي قدره 5%، مع احتساب شهري للفائدة المركبة وإيداعات فصلية، يكون i = (1 + 0.05/12)³ − 1 ≈ 1.2552% لكل ربع سنة. وعندما يتطابق التواتران، يكون i مساويًا لـ r/n مباشرة.

مثال تطبيقي

تبدأ خطة بمبلغ 1,000 US$ وتضيف 100 US$ في بداية كل شهر لمدة 10 سنوات بسعر سنوي قدره 5%، مع احتساب شهري للفائدة المركبة. وهذه هي القيم الافتراضية للحاسبة.

1. عدد الفترات في السنة m = 12، لذا يكون الأفق x = 120 فترة، ويكون N = 120 إيداعًا.
2. السعر الشهري هو i = 0.05 / 12 ≈ 0.0041667.
3. عامل النمو: (1 + i)¹²⁰ ≈ 1.647009.
4. الإيداع الأولي: 1,000 US$ × 1.647009 ≈ 1,647.01 US$.
5. عامل الدفعات السنوية (العادية): (1.647009 − 1) / 0.0041667 ≈ 155.282279. وبما أن الإيداعات تُودَع في بداية كل شهر، يُضرب العامل في (1 + i): 155.929289.
6. المساهمات: 100 US$ × 155.929289 ≈ 15,592.93 US$.
7. القيمة المستقبلية: 1,647.01 US$ + 15,592.93 US$ = 17,239.94 US$.

إجمالي المساهمات هو 1,000 US$ + 120 × 100 US$ = 13,000 US$، لذا فإن إجمالي الفائدة هو 17,239.94 US$ − 13,000 US$ = 4,239.94 US$. ومع الخطة نفسها، لكن مع الإيداعات في نهاية كل شهر، تكون القيمة المستقبلية 17,175.24 US$، أي أقل بنحو 65 US$.

مثال ثانٍ بإيداعات نهاية الشهر: إيداع أولي قدره 5,000 US$، و200 US$ شهريًا، وفائدة مركبة شهرية قدرها 6%، لمدة 20 سنة. هنا (1.005)²⁴⁰ ≈ 3.310204، فينمو الإيداع إلى 16,551.02 US$، ويبلغ عامل الدفعات السنوية 462.040895، وتنمو المساهمات إلى 92,408.18 US$. وتبلغ القيمة المستقبلية 108,959.20 US$: إذ دُفع 53,000 US$، وبلغت الفائدة 55,959.20 US$. وهذا يطابق حاسبة الفائدة المركبة التابعة لهيئة الأوراق المالية والبورصات الأمريكية على موقع investor.gov، التي قورنت بها آلية تشغيل الأداة.

الاصطلاحات التي تستخدمها هذه الحاسبة

تكون الإيداعات افتراضيًا في بداية الفترة. تخصم معظم خطط الادخار الفعلية المبلغ من الحساب في بداية كل شهر، لذا يكون الإعداد الافتراضي هو الدفعات السنوية المستحقة. أما كثير من الكتب الدراسية والحاسبات فتفترض الدفعات السنوية العادية؛ ويتيح خيار التوقيت التبديل بين النوعين.

تُحتسب السنوات الكسرية وفقًا لتوقيت الإيداعات. على مدى 2.5 سنة من الإيداعات السنوية، تُجري خطة نهاية الفترة 2 إيداعين (إذ لا تُحتسب إلا السنوات المكتملة)، بينما تُجري خطة بداية الفترة 3 إيداعات (إذ يُدفع إيداع كل سنة في بدايتها). ومع ذلك، ينمو كل إيداع أُجري والمبلغ الأولي حتى الأفق الدقيق، بما في ذلك الفترة الجزئية الأخيرة.

النتائج اسمية. لا يُطرح أي تضخم أو ضريبة أو رسم. والقيمة المستقبلية هي ما سيظهر في كشف الحساب، لا القوة الشرائية لذلك المبلغ.

يحدث التقريب مرة واحدة في النهاية. تُقرَّب القيمة المستقبلية وإجمالي المساهمات كلٌّ منهما إلى أقرب سنت، ويكون إجمالي الفائدة هو الفرق بينهما؛ لذلك تتوافق الأرقام الثلاثة المعروضة دائمًا بدقة.

الأسئلة الشائعة

ما القيمة المستقبلية لخطة ادخار؟ هي رصيد الحساب في نهاية الخطة: الإيداع الأولي وكل إيداع منتظم، وقد نما كل منها بفائدة مركبة منذ لحظة إيداعه حتى النهاية.

هل تُحدث المساهمة في بداية الشهر فرقًا فعلًا؟ نعم، ولكن بقدر قليل. يحقق كل إيداع فائدة لفترة إضافية، مما يضرب جزء المساهمات من الرصيد في (1 + i). وفي المثال الافتراضي، يبلغ الفرق على مدى 10 سنوات 64.70 US$.

لماذا يغيّر تواتر احتساب الفائدة المركبة النتيجة؟ يُضيف الاحتساب الأكثر تواترًا للفائدة إلى الرصيد في وقت أبكر، فتبدأ الفائدة في كسب فائدة في وقت أبكر. وتُدخل الحاسبة ذلك في السعر الفعلي لكل فترة i = (1 + r/n)^(n/m) − 1، ولذلك تُعالَج بدقة أي مجموعة من تواتر الاحتساب المركب وتواتر المساهمات.

ماذا يحدث عند سعر فائدة قدره 0%؟ تكون القيمة المستقبلية مجرد مجموع كل الأموال المدفوعة. وتنتهي الخطة الافتراضية عند 0% بمبلغ 13,000 US$ تمامًا، مع فائدة قدرها 0 US$.

هل تراعي الحاسبة التضخم أو الضرائب؟ لا. جميع النتائج مبالغ اسمية بالدولار. ولتقدير القوة الشرائية، يمكن إدخال سعر «حقيقي» أقل، لكن الأداة لا تقبل أسعارًا سالبة.

لماذا يساوي إجمالي الفائدة القيمة المستقبلية مطروحًا منها إجمالي المساهمات؟ الفائدة هي كل دولار في الحساب لم يُدفع فيه. وبما أن الإيداعات محسوبة ضمن إجمالي المساهمات، فلا بد أن يكون كل ما تبقى من القيمة المستقبلية ناتجًا عن الفائدة المركبة.

المراجع

1. "Future value." ويكيبيديا، https://en.wikipedia.org/wiki/Future_value.
2. "Annuity." ويكيبيديا، https://en.wikipedia.org/wiki/Annuity.
3. "Effective interest rate." ويكيبيديا، https://en.wikipedia.org/wiki/Effective_interest_rate.
4. "Compound Interest Calculator." هيئة الأوراق المالية والبورصات الأمريكية، Investor.gov، https://www.investor.gov/financial-tools-calculators/calculators/compound-interest-calculator.