Calculadora de plans d’estalvi: valor futur amb aportacions
Calcula el valor futur d’un pla d’estalvi a partir d’un import inicial més aportacions periòdiques, amb la possibilitat de triar la freqüència de les aportacions i de la capitalització.
Savings Plan Calculator
Documentació
Calculadora de plans d’estalvi
Una calculadora de plans d’estalvi estima quin valor tindrà un compte d’estalvi o d’inversió un cop transcorregut el nombre d’anys triat. Combina un dipòsit inicial únic amb una aportació periòdica mensual, trimestral o anual, i fa créixer tots dos imports amb interès compost.
Què fa la calculadora
La calculadora admet set dades: l’ingrés inicial, l’aportació periòdica, la freqüència de les aportacions (mensual, trimestral o anual), si cada aportació es fa al principi o al final del període, el tipus d’interès anual, la freqüència de capitalització dels interessos i el nombre d’anys durant els quals creixen els diners.
Retorna tres xifres: el valor futur (el saldo final), el total d’aportacions (l’ingrés inicial més tots els ingressos periòdics) i el total d’interessos obtinguts (la diferència entre els dos). Un gràfic mostra el saldo al final de cada període d’aportació.
L’ingrés inicial pot anar de 0 USD a 1 USD bilió i l’aportació, de 0 USD a 1 USD mil milions per període. El tipus d’interès pot anar de 0 % a 100 %. El nombre d’anys ha de ser superior a 0 i com a màxim de 100. Com a mínim un dels dos imports, l’ingrés i l’aportació, ha de ser superior a 0 USD.
Com es calcula el valor futur d’un pla d’estalvi
Es combinen dos resultats estàndard, descrits tots dos als articles de la Viquipèdia «Valor futur» i «Anualitat».
L’ingrés inicial creix només amb l’interès compost:
VF(ingrés) = P₀ × (1 + i)ˣ
El flux de dipòsits periòdics creix com una anualitat:
VF(aportacions) = PMT × (1 + i)ˣ⁻ᴺ × A
- P₀ és l’ingrés inicial.
- PMT és l’aportació periòdica.
- i és el tipus d’interès d’un període d’aportació.
- x és l’horitzó mesurat en períodes d’aportació (anys × períodes per any).
- N és el nombre d’ingressos realment efectuats.
- A és el factor d’anualitat, el valor futur de 1 USD ingressat cada període durant N períodes.
El factor d’anualitat depèn del moment en què es fan els ingressos:
| Moment | Nom | A |
|---|---|---|
| Final del període | Anualitat ordinària | ((1 + i)ᴺ − 1) / i |
| Inici del període | Anualitat anticipada | ((1 + i)ᴺ − 1) / i × (1 + i) |
Un ingrés al principi de cada període genera interessos durant un període addicional, que és l’origen del factor extra (1 + i). Quan el tipus és 0 %, el factor d’anualitat és N: els ingressos se sumen sense créixer.
El valor futur és la suma de les dues parts. El total d’interessos és el valor futur menys tot el que s’hi ha ingressat.
Quan la capitalització i les aportacions tenen freqüències diferents
Els interessos es poden capitalitzar més o menys sovint que no pas es fan els ingressos, per exemple, amb capitalització mensual i ingressos trimestrals. La calculadora converteix el tipus anual nominal r, capitalitzat n vegades per any, en el tipus efectiu d’un període d’aportació (vegeu l’article de la Viquipèdia «Tipus d’interès efectiu»):
i = (1 + r/n)^(n/m) − 1
on m és el nombre d’aportacions per any. Amb un tipus anual del 5 % capitalitzat mensualment i ingressos trimestrals, i = (1 + 0,05/12)³ − 1 ≈ 1,2552 % per trimestre. Quan les dues freqüències coincideixen, i és directament r/n.
Exemple resolt
Un pla comença amb 1.000 USD i hi afegeix 100 USD al principi de cada mes durant 10 anys, amb un tipus anual del 5 % capitalitzat mensualment. Aquests són els valors predeterminats de la calculadora.
- Períodes per any m = 12; per tant, l’horitzó és x = 120 períodes i N = 120 ingressos.
- El tipus mensual és i = 0,05 / 12 ≈ 0,0041667.
- Factor de creixement: (1 + i)¹²⁰ ≈ 1,647009.
- Ingrés inicial: 1.000 USD × 1,647009 ≈ 1.647,01 USD.
- Factor d’anualitat (ordinària): (1,647009 − 1) / 0,0041667 ≈ 155,282279. Els ingressos es fan al principi de cada mes, de manera que es multiplica per (1 + i): 155,929289.
- Aportacions: 100 USD × 155,929289 ≈ 15.592,93 USD.
- Valor futur: 1.647,01 USD + 15.592,93 USD = 17.239,94 USD.
El total d’aportacions és 1.000 USD + 120 × 100 USD = 13.000 USD; per tant, el total d’interessos és 17.239,94 USD − 13.000 USD = 4.239,94 USD. Amb el mateix pla però fent els ingressos al final de cada mes, el valor futur és 17.175,24 USD, aproximadament 65 USD menys.
Un segon exemple amb ingressos al final de cada mes: 5.000 USD inicials, 200 USD al mes, 6 % capitalitzat mensualment i 20 anys. En aquest cas, (1,005)²⁴⁰ ≈ 3,310204, l’ingrés creix fins a 16.551,02 USD, el factor d’anualitat és 462,040895 i les aportacions creixen fins a 92.408,18 USD. El valor futur és 108.959,20 USD: s’hi han ingressat 53.000 USD i els interessos són 55.959,20 USD. Això coincideix amb la calculadora d’interès compost de la Comissió de Borsa i Valors dels Estats Units, a investor.gov, amb la qual es va comprovar el motor de l’eina.
Convencions que utilitza aquesta calculadora
Els ingressos es fan per defecte al principi del període. La majoria de plans d’estalvi reals carreguen l’import al compte al començament de cada mes, per tant, es tracta d’una anualitat anticipada. Molts llibres de text i calculadores assumeixen, en canvi, una anualitat ordinària; l’opció de temporalització permet canviar d’una a l’altra.
Els anys fraccionaris compten els ingressos segons el moment en què es fan. Durant 2,5 anys d’ingressos anuals, un pla amb ingressos al final del període en fa 2 (només es paguen els anys completats), mentre que un pla amb ingressos al principi del període en fa 3 (cada any iniciat es paga al començament). Tots els ingressos efectuats, i també l’import inicial, continuen creixent fins a l’horitzó exacte, inclòs el període parcial final.
Els resultats són nominals. No es descompta cap import per inflació, impostos o comissions. El valor futur és el que mostraria l’extracte del compte, no pas el seu poder adquisitiu.
L’arrodoniment es fa una sola vegada, al final. El valor futur i el total d’aportacions s’arrodoneixen cadascun al cèntim, i el total d’interessos n’és la diferència; per tant, les tres xifres mostrades sempre sumen exactament.
Preguntes freqüents
Què és el valor futur d’un pla d’estalvi? És el saldo del compte al final del pla: l’ingrés inicial i tots els ingressos periòdics, acumulats amb interès compost des del moment en què es va ingressar cadascun fins al final.
Importa realment fer l’aportació al principi del mes? Sí, una mica. Cada dipòsit merita interessos durant un període addicional, cosa que multiplica la part del saldo corresponent a les aportacions per (1 + i). En l’exemple predeterminat, la diferència durant 10 anys és de 64,70 USD.
Per què la freqüència de capitalització modifica el resultat? Una capitalització més freqüent abona els interessos abans, de manera que els interessos comencen a generar interessos abans. La calculadora ho incorpora al tipus efectiu per període i = (1 + r/n)^(n/m) − 1, de manera que gestiona exactament qualsevol combinació de freqüències de capitalització i d’aportació.
Què passa amb un tipus d’interès del 0 %? El valor futur és simplement la suma de tots els imports ingressats. El pla predeterminat amb un tipus del 0 % acaba exactament amb 13.000 USD i 0 USD d’interessos.
La calculadora té en compte la inflació o els impostos? No. Tots els resultats són imports nominals en dòlars. Per estimar el poder adquisitiu, es pot introduir un tipus «real» més baix, però l’eina no admet tipus negatius.
Per què el total d’interessos és el valor futur menys el total d’aportacions? Els interessos són tots els diners del compte que no s’hi han ingressat. Com que els dipòsits es compten dins del total d’aportacions, el que en resta del valor futur ha de provenir de la capitalització.
Referències
- "Future value." Viquipèdia, https://en.wikipedia.org/wiki/Future_value.
- "Annuity." Viquipèdia, https://en.wikipedia.org/wiki/Annuity.
- "Effective interest rate." Viquipèdia, https://en.wikipedia.org/wiki/Effective_interest_rate.
- "Compound Interest Calculator." Comissió de Borsa i Valors dels Estats Units, Investor.gov, https://www.investor.gov/financial-tools-calculators/calculators/compound-interest-calculator.