Calculadora de percentatges

Un percentatge és una manera d’escriure un nombre com una fracció de 100. Aquesta calculadora de percentatges respon a tres preguntes habituals: quant és el X% d’un nombre, quin percentatge representa un nombre respecte d’un altre i quin és el canvi percentual entre dos valors.

Què és un percentatge?

La paraula percentatge significa «per cent». Escriure 25 % és el mateix que escriure la fracció 25/100 o el nombre decimal 0,25. Els percentatges faciliten la comparació de nombres de mides diferents. Dir que 45 de 60 preguntes eren correctes i que 30 de 40 també ho eren és difícil de comparar directament. Dir 75 % en tots dos casos deixa clar que les puntuacions són iguals.

La calculadora té tres modes. Cada mode respon una pregunta diferent i, per tant, utilitza una fórmula diferent.

Com calcular un percentatge d’un nombre

Aquest mode respon la pregunta «quant és el X% de Y?». Converteix el percentatge en una fracció de 100 i multiplica:

$P = \frac{X}{100} \times Y$

on P és la part, X el percentatge i Y el valor del qual es calcula el percentatge.

Exemple resolt

Quant és 25 % de 200?

1. Divideix el percentatge per 100: 25 / 100 = 0,25
2. Multiplica pel valor: 0,25 × 200 = 50

Per tant, 25 % de 200 és 50.

Els mateixos passos serveixen per a quantitats quotidianes. La propina del 15 % d’una factura de 48,00 és (15 / 100) × 48 = 7,20. Un descompte del 20 % en un article de 60,00 en redueix el preu en (20 / 100) × 60 = 12,00.

Com trobar quin percentatge representa un nombre respecte d’un altre

Aquest mode respon la pregunta «X és quin percentatge de Y?». Divideix la part pel total i escala el resultat a 100:

$Q = \frac{X}{Y} \times 100$

on Q és el percentatge resultant, X la part i Y el total.

El total (Y) no pot ser zero, perquè la divisió per zero no està definida. En aquest cas, la calculadora mostra un missatge d’error en lloc d’un resultat.

Exemple resolt

30 és quin percentatge de 120?

1. Divideix la part pel total: 30 / 120 = 0,25
2. Multiplica per 100: 0,25 × 100 = 25

Per tant, 30 és el 25 % de 120. De la mateixa manera, una puntuació de 45 sobre 60 és (45 / 60) × 100 = 75 %.

Com calcular el canvi percentual

Aquest mode respon la pregunta «en quin percentatge ha canviat un valor d’A a B?». Compara la diferència amb la magnitud del valor inicial:

$C = \frac{B - A}{|A|} \times 100$

on C és el canvi percentual, A el valor inicial i B el valor final. Les barres al voltant de A indiquen el seu valor absolut, que és A sense el signe menys.

El valor inicial (A) no pot ser zero, perquè no hi ha cap quantitat inicial amb què comparar-lo. Un resultat positiu és un augment, un resultat negatiu és una disminució i zero significa que no hi ha cap canvi. La calculadora indica el sentit al costat del nombre.

Exemple resolt

Un preu puja de 80 a 100. Quin és el canvi percentual?

1. Troba la diferència: 100 − 80 = 20
2. Divideix pel valor inicial: 20 / 80 = 0,25
3. Multiplica per 100: 0,25 × 100 = 25

El preu ha augmentat un 25 %. Una baixada de 50 a 40 es calcula de la mateixa manera: (40 − 50) / 50 × 100 = -20 %, una disminució del 20 %.

Per què la fórmula utilitza el valor absolut

Dividir pel valor absolut d’A manté significatiu el signe del resultat quan el valor inicial és negatiu. Un canvi de −10 a −5 representa un guany de 5. Amb aquest valor absolut al denominador, el resultat és ((−5) − (−10)) / 10 × 100 = 50 %, cosa que representa un augment. Dividir per −10 invertiria el signe i indicaria erròniament una disminució.

El canvi percentual no és simètric

El sentit del canvi és important. Passar de 80 a 100 és un augment del 25 %, però passar de 100 a 80 és només una disminució del 20 %. Els dos resultats difereixen perquè cadascun es mesura respecte d’un valor inicial diferent.

Arrodoniment i visualització

Els resultats es mostren amb un màxim de sis decimals. Els resultats inferiors a 1 conserven sis xifres significatives, de manera que un valor com 0,0000001 no s’arrodoneix fins a zero. Els resultats molt grans (iguals o superiors a 10^15) i els molt petits (inferiors a 10^-9) es mostren en notació científica amb sis xifres significatives. Un resultat es mostra com a 0 només quan és exactament zero.

Preguntes freqüents

Com calculo a mà un percentatge d’un nombre?

Divideix el percentatge per 100 i després multiplica pel nombre. Per calcular el 30 % de 250: 30 / 100 = 0,3, i 0,3 × 250 = 75.

Pot un percentatge ser superior a 100?

Sí. El 150 % de 40 és (150 / 100) × 40 = 60. Un canvi percentual també pot superar 100: passar de 50 a 120 és un augment del ((120 − 50) / 50) × 100 = 140 %.

Per què la calculadora rebutja un valor total o inicial igual a zero?

Totes dues fórmules divideixen per aquest valor, i la divisió per zero no està definida. «X és quin percentatge de 0?» i «canvi percentual des de 0» no tenen cap resposta numèrica, de manera que la calculadora mostra un error.

Quina diferència hi ha entre un canvi percentual i els punts percentuals?

Els punts percentuals mesuren una diferència simple entre dos percentatges. El canvi percentual mesura aquesta diferència respecte del valor inicial. Si un tipus d’interès passa de 4 % a 5 %, augmenta en 1 punt percentual, però el canvi percentual és ((5 − 4) / 4) × 100 = 25 %.

Per què un augment del 25 % no es desfà amb una disminució del 25 %?

Cada pas es mesura respecte del seu propi valor inicial. Augmentar 80 en un 25 % dona 100. Reduir 100 en un 25 % dona 75, no 80, perquè el segon 25 % es calcula sobre el nombre més gran.