Calculadora científica: potències, arrels i logaritmes

Calculadora científica

Una calculadora científica calcula el valor d’una expressió matemàtica escrita. Aquesta llegeix potències, arrels, logaritmes, trigonometria, factorials i percentatges, aplica l’ordre estàndard de les operacions i mostra una resposta.

Què fa la calculadora

Una expressió s’escriu a la casella Expressió o es construeix amb el teclat. La calculadora la llegeix tan bon punt canvia, de manera que no cal cap tecla d’igual per veure la resposta. La tecla = afegeix el càlcul a una llista d’historial.

Accepta:

• els dígits, el punt decimal i els nombres en forma d’exponent, com ara 1.5e-3;
• els operadors +, -, *, / i ^ (potència), a més dels claudàtors;
• les constants pi i e;
• les funcions sin, cos, tan, asin, acos, atan, log, ln, sqrt i cbrt;
• els signes postf fixos ! (factorial) i % (percentatge).

Els símbols del teclat es tradueixen als seus equivalents simples, de manera que ×, ÷, − i π signifiquen el mateix que *, /, - i pi.

log és el logaritme en base 10 i ln és el logaritme natural, en base e. Aquesta és la convenció d’etiquetatge de les calculadores científiques TI i Casio, i la nomenclatura que s’utilitza a la NIST Digital Library of Mathematical Functions, a la secció 4,2.

L’ordre de les operacions

La regla que determina el significat d’una expressió és l’ordre de les operacions. Aquesta calculadora utilitza la gramàtica següent. Cada línia crida la línia que té a sota, de manera que la jerarquia d’imbricació determina la taula de precedència: l’última línia és la que lliga més fort i es calcula primer.

Escrita com una llista, de la primera operació calculada a l’última:

1. qualsevol cosa que hi hagi dins dels claudàtors i una funció aplicada a claudàtors;
2. ! i %;
3. ^;
4. un signe inicial - o +;
5. *, / i dues coses escrites l’una al costat de l’altra;
6. + i -.

Les convencions que en resulten coincideixen amb la norma ISO 80000-2:2019 i amb l’article «Order of operations» de la Viquipèdia:

Dos nombres o noms escrits l’un al costat de l’altre es multipliquen, cosa que fa funcionar 2pi, 2(3+4) i 3sin(30). Aquesta multiplicació implícita té la mateixa precedència que * i /, de manera que una juxtaposició i una divisió es llegeixen d’esquerra a dreta. Moltes calculadores científiques de mà donen una precedència més alta a la juxtaposició que a la divisió i llegeixen 1/2pi com 1/(2*pi), que dona una resposta diferent. La Viquipèdia descriu aquesta discrepància a «Calculator input methods». Els claudàtors resolen qualsevol cas en què la diferència sigui rellevant.

% divideix per 100 allà on apareix. Per tant, 20% és 0,2 i 200*15% és 30. No és la tecla «percentatge del total acumulat» d’una caixa registradora, ni és un operador de residu.

Exemple resolt

L’expressió sin(30)+2^3*ln(4), en mode Graus, es calcula en aquest ordre:

1. sin(30) és 0,5, perquè 30 graus és la meitat d’un angle recte i el seu sinus és un mig.
2. 2^3 és 8. Les potències es calculen abans de les multiplicacions.
3. ln(4) és 1,38629436112.
4. 8 * 1.38629436112 és 11,090354889.
5. 0.5 + 11.090354889 és 11,590354889.

La calculadora mostra 11,590354889.

Un segon exemple mostra la regla d’esquerra a dreta. A 6/2(1+2), primer es calculen els claudàtors, i s’obté 6/2*3. La divisió i la multiplicació implícita tenen la mateixa precedència, de manera que primer es fa la divisió: 6/2 és 3 i 3*3 és 9.

Graus i radians

La configuració de la unitat d’angle determina com sin, cos i tan interpreten l’entrada, i quina unitat retornen asin, acos i atan. En mode Graus, una volta completa és 360. En mode Radians, una volta completa és 2pi, aproximadament 6,28318530718. La mateixa expressió pot donar respostes molt diferents en els dos modes: sin(30) és 0,5 en mode Graus i -0,988031624093 en mode Radians.

Com s’emmagatzemen i es mostren els nombres

Cada valor és un nombre binari de doble precisió IEEE 754 de tipus binary64, el tipus de nombre descrit a ECMA-262, l’ECMAScript Language Specification, secció 6,1.6,1. Un doble conté aproximadament entre 15 i 17 dígits decimals. La resposta s’arrodoneix una sola vegada, només per a la pantalla, a 12 dígits significatius. Els valors inferiors a 0,000001 o iguals o superiors a 1.000.000.000.000 es mostren en forma d’exponent, de manera que 0.0000001 es llegeix com 1E-7.

El nombre emmagatzemat conserva tota la precisió. La memòria desa el resultat exacte, no els 12 dígits de la pantalla, i MR torna a enganxar el text més curt que es llegeix com aquest mateix nombre. Un valor negatiu de la memòria s’enganxa entre claudàtors, de manera que recuperar-lo després d’un 2 es llegeix com una multiplicació i no com una resta.

L’arrodoniment no s’utilitza mai per decidir res. Un petit residu d’un càlcul anterior és un nombre real i es tracta com a tal. 0.1*3-0.3 no és zero en binari; és aproximadament 5,55111512313E-17, de manera que 5/(0.1*3-0.3) dona 9,00719925474E16 en lloc d’un missatge de divisió per zero.

Pel mateix motiu, sin(180) en mode Graus mostra 1,22464679915E-16 i no 0. L’error és d’aproximadament una part per cada deu mil milions de milions, i es manté tan petit. La tangent n’és l’excepció, i es tracta més avall.

Què rebutja la calculadora

La calculadora mostra un missatge en lloc d’una resposta quan:

• un denominador és exactament zero, inclòs un nombre escrit massa petit per a un doble, com 1e-400, que ja és zero quan es llegeix;
• es dona a sqrt un nombre negatiu;
• es dona a log o ln un nombre que no és més gran que zero;
• es dona a asin o acos un nombre fora de l’interval de -1 a 1, el domini indicat a la secció 4,14 del NIST DLMF;
• s’utilitza tan a 90 graus, o a qualsevol múltiple senar d’aquest valor, on no té cap valor;
• es demana el factorial de qualsevol cosa que no sigui un nombre enter del 0 al 170;
• un nombre conté un segon punt decimal, com a 1.2.3;
• l’expressió té més de 512 caràcters.

El límit de 170 és una propietat del tipus de nombre, no una preferència: el factorial de 170 és aproximadament 7,25741561531E306, que encara cap en un doble, mentre que el factorial de 171 no hi cap. El límit de 512 caràcters es comprova en el codi, perquè la longitud de l’expressió és el que determina quanta feina fa la calculadora.

La comprovació de la tangent arrodoneix l’angle a 9 decimals abans de comprovar-lo. Això reincorpora el desplaçament dels càlculs anteriors a l’asímptota exacta, a costa d’una finestra de refusament d’aproximadament 5e-10 graus d’amplada a cada costat. tan(89.9999999994) retorna 95.493.592.025, mentre que tan(89.9999999995) es rebutja. El mode Radians no fa aquesta comprovació, perquè un valor en radians escrit a prop de la meitat de pi és simplement un altre nombre sense cap tractament especial.

Preguntes freqüents

Què fa la tecla % aquí? Divideix per 100 allà on apareix. 100+10% és 100,1, perquè significa 100 més 0,1. No calcula un percentatge del que hi havia abans.

2^3^2 és 64 o 512? 512. Les potències s’agrupen per la dreta, de manera que significa 2^(3^2), que és 2^9. Això segueix la norma ISO 80000-2:2019.

Per què 6/2(1+2) és 9 i no 1? Una multiplicació implícita té la mateixa precedència que una divisió, i les operacions amb la mateixa precedència es llegeixen d’esquerra a dreta. Les calculadores que donen més precedència a la juxtaposició responen 1. Els claudàtors eliminen el dubte.

Per què sin(180) no mostra 0? Perquè 180 graus es converteixen primer a radians, i pi no es pot escriure exactament en binari. La resposta és aproximadament 1.2e-16, que és el valor real del sinus del nombre que la màquina ha utilitzat.

Quina diferència hi ha entre log i ln? log és en base 10, de manera que log(1000) és 3. ln és en base e, de manera que ln(e) és 1. Les etiquetes del teclat segueixen la mateixa convenció que les calculadores científiques TI i Casio.

Per què es rebutja un factorial superior a 170? El factorial de 171 és més gran que qualsevol nombre representable en doble precisió, de manera que la resposta seria infinit en lloc d’un nombre. La calculadora ho indica en lloc de mostrar un resultat sense sentit.

Fonts

• IEEE 754-2019, norma IEEE per a l’aritmètica de coma flotant.
• ECMA-262, ECMAScript Language Specification, secció 6.1.6.1, «The Number Type».
• ISO 80000-2:2019, Quantitats i unitats, part 2: signes i símbols matemàtics.
• NIST Digital Library of Mathematical Functions, les seccions 4,2 i 4,14.
• Viquipèdia, «Order of operations».
• Viquipèdia, «Calculator input methods».