Calculadora de Caiguda Lliure - Calculadora de Velocitat, Distància i Temps

Calculadora de caiguda lliure: velocitat, distància i temps

Una calculadora de caiguda lliure determina la velocitat d’un objecte que cau sota l’efecte de la gravetat, la distància que ha recorregut i l’altura que encara té sobre el terra. Introduïu una altura inicial, una velocitat inicial i un temps transcorregut, i retorna la velocitat final, el desplaçament cap avall i l’altura final.

Què és la caiguda lliure?

La caiguda lliure és un moviment causat únicament per la gravetat. La resistència de l’aire s’ignora. Prop de la superfície terrestre, tots els objectes que cauen acceleren al mateix ritme, independentment de la seva massa. Una moneda i un martell deixats caure alhora arriben a terra en el mateix instant, sempre que la resistència de l’aire sigui prou petita per poder ignorar-la.

Galileo Galilei ho va demostrar experimentalment a començament dels anys 1600, i va refutar la idea antiga que els objectes més pesants cauen més de pressa. L’any 1971, l’astronauta de l’Apollo 15 David Scott va deixar caure un martell i una ploma a la Lluna, on no hi ha aire que freni la ploma. Tots dos van arribar alhora, davant de la càmera.

El ritme d’aquesta acceleració s’anomena gravetat estàndard i s’escriu g. El seu valor definit és exactament 9,80665 metres per segon al quadrat (m/s²), establert per acord internacional l’any 1901. En unitats imperials, la mateixa acceleració és de 32,17405 peus (9,81 m) per segon al quadrat (ft/s²). Aquesta xifra és 9,80665 dividit per 0,3048, el nombre exacte de metres que hi ha en un peu, arrodonit a cinc decimals. Molts exemples de manual arrodoneixen el valor mètric a 9,81 m/s² per simplificar els càlculs.

Fórmula de la caiguda lliure

Tres equacions cobreixen tots els problemes de caiguda lliure. El sentit cap avall es considera positiu, de manera que una velocitat positiva apunta cap a terra i una de negativa apunta cap amunt.

Fórmula de la velocitat

$v = v_0 + gt$

• $v$ = velocitat final
• $v_0$ = velocitat inicial (0 si es deixa caure des del repòs; negativa si es llança cap amunt)
• $g$ = acceleració gravitatòria, 9,80665 m/s² o 32,17405 peus/s² en aquesta calculadora
• $t$ = temps transcorregut, en segons

Fórmula de la distància

$d = v_0t + \frac{1}{2}gt^2$

Aquí $d$ és el desplaçament: la distància que l’objecte ha recorregut cap avall. Per a un objecte deixat caure des del repòs ($v_0 = 0$), l’equació es simplifica a $d = \frac{1}{2}gt^2$. Si l’objecte s’ha llançat cap amunt i encara és per sobre del punt d’alliberament, $d$ és negatiu.

Fórmula velocitat-distància

Quan es desconeix el temps, aquesta equació relaciona directament la velocitat i la distància:

$v^2 = v_0^2 + 2gd$

Per a un objecte deixat caure des del repòs, això es simplifica a $v = \sqrt{2gd}$. És la fórmula que s’utilitza per trobar la velocitat d’impacte a partir d’una altura de caiguda coneguda, o l’altura de caiguda a partir d’una velocitat d’impacte coneguda.

Com calcular la caiguda lliure amb aquesta calculadora

La calculadora rep quatre paràmetres i retorna tres resultats.

1. Trieu un sistema d’unitats. El sistema mètric utilitza metres i metres per segon. El sistema imperial utilitza peus i peus per segon.
2. Introduïu l’altura inicial, és a dir, l’altura a la qual es troba inicialment l’objecte sobre el terra. No pot ser negativa.
3. Introduïu la velocitat inicial. Utilitzeu 0 per a un objecte deixat caure des del repòs, un nombre positiu per a un objecte llançat cap avall o un nombre negatiu per a un objecte llançat cap amunt.
4. Introduïu el temps transcorregut des que s’ha alliberat l’objecte. Ha de ser superior a zero.

Els resultats són la velocitat final, el desplaçament i l’altura final (l’altura inicial menys el desplaçament). Aquí el temps és una dada d’entrada, no un resultat: la calculadora no resol el problema cap enrere a partir d’una velocitat o distància objectiu.

Si el temps introduït és prou llarg perquè l’objecte ja hagués arribat a terra, la calculadora ho indica en lloc de mostrar una altura final negativa.

Exemple: la configuració predeterminada

Es deixa caure un objecte des del repòs a una altura de 100 metres. On és al cap de 3 segons?

Velocitat al cap de 3 segons:

$v = 0 + 9.80665 \times 3 = 29.41995 \approx 29.42 \text{ m/s}$

Desplaçament durant aquests 3 segons:

$d = \frac{1}{2} \times 9.80665 \times 3^2 = 44.129925 \approx 44.13 \text{ m}$

Altura final:

$100 - 44.129925 = 55.870075 \approx 55.87 \text{ m}$

Per tant, l’objecte cau a aproximadament 29,42 m/s, ha baixat aproximadament 44,13 m i encara es troba a uns 55,87 m sobre el terra.

Exemple: temps i velocitat a partir d’una altura coneguda

Es deixa caure una clau anglesa des d’una bastida de 20 metres d’altura. Quant triga a arribar a terra i amb quina velocitat es mou en l’impacte?

Utilitzant $d = \frac{1}{2}gt^2$ amb $d = 20$ m i $g = 9.81$ m/s²:

$t = \sqrt{\frac{2 \times 20}{9.81}} \approx 2.02 \text{ segons}$

$v = gt = 9.81 \times 2.02 \approx 19.8 \text{ m/s (aproximadament 71 km/h)}$

Exemple: altura a partir de la velocitat d’impacte

Un objecte arriba a terra a 25 m/s després d’haver estat deixat caure des del repòs. Des de quina altura ha caigut?

Utilitzant $v^2 = 2gd$:

$d = \frac{v^2}{2g} = \frac{25^2}{2 \times 9.81} = \frac{625}{19.62} \approx 31.9 \text{ metres}$

És aproximadament l’altura d’un edifici de deu pisos.

Com varia la gravetat

La gravetat estàndard, 9,80665 m/s², és un valor mitjà de referència. La gravetat real varia lleugerament arreu de la superfície terrestre. És més feble a l’equador (aproximadament 9,78 m/s²) que als pols (aproximadament 9,83 m/s²), perquè la Terra sobresurt cap enfora a l’equador i gira més de pressa en aquesta zona. La gravetat també es debilita lleugerament amb l’altitud: a 10.000 metres, disminueix fins a aproximadament 9,78 m/s².

Altres mons tenen una gravetat molt diferent, de manera que les mateixes fórmules donen resultats molt diferents:

La gravetat de la Lluna és aproximadament una sisena part de la de la Terra, de manera que un objecte deixat caure allà recorre aproximadament una sisena part de la distància en el mateix temps.

Caiguda lliure i resistència de l’aire

Aquestes fórmules suposen el buit, sense aire que freni l’objecte. La resistència de l’aire creix amb el quadrat de la velocitat, de manera que té més importància a velocitats elevades. Té poc efecte sobre un objecte dens i compacte, com una clau anglesa o una pedra que cau des d’una distància curta. Té un efecte considerable sobre objectes lleugers o amples, com una ploma, un full de paper o un paracaigudes.

Quan la resistència de l’aire arriba a igualar la força de la gravetat, l’objecte deixa d’accelerar i cau a una velocitat constant, anomenada velocitat terminal. Un paracaigudista en posició horitzontal boca avall sol assolir una velocitat terminal propera a 53 metres per segon, aproximadament 190 km/h o 120 milles per hora, abans d’obrir el paracaigudes.

Preguntes freqüents

Què és la caiguda lliure en física?

La caiguda lliure és el moviment d’un objecte sotmès únicament a la gravetat, amb la resistència de l’aire ignorada. Tots els objectes que cauen prop de la superfície terrestre acceleren cap avall al mateix ritme, aproximadament 9,81 m/s², independentment de la seva massa.

Per què tots els objectes cauen al mateix ritme?

La gravetat estira amb més força un objecte més pesant, però un objecte més pesant també es resisteix més a un canvi de moviment, perquè té més inèrcia. Aquests dos efectes es cancel·len exactament, de manera que la massa no afecta el ritme d’acceleració en la caiguda lliure.

Quina és la fórmula de la velocitat en caiguda lliure?

$v = v_0 + gt$, on $v_0$ és la velocitat inicial, $g$ és l’acceleració gravitatòria i $t$ és el temps. Per a un objecte deixat caure des del repòs, és simplement $v = gt$.

Quina és la fórmula de la distància en caiguda lliure?

$d = v_0t + \frac{1}{2}gt^2$. Per a un objecte deixat caure des del repòs, això es simplifica a $d = \frac{1}{2}gt^2$.

Per què el desplaçament és de vegades negatiu?

En aquesta calculadora, el sentit cap avall compta com a positiu. Un desplaçament negatiu significa que l’objecte és per sobre del punt des d’on s’ha alliberat, cosa que passa quan s’ha llançat cap amunt i encara no ha tornat a caure. Llanceu una pilota cap amunt a 10 m/s i comproveu-la al cap de 1 segon: $d = -10 \times 1 + \frac{1}{2} \times 9.80665 \times 1^2 = -5.10$ m, de manera que es troba 5,10 m per sobre del punt inicial.

Quant triga un objecte a caure des d’una altura determinada?

Si es resol l’equació de la distància per al temps, s’obté $t = \sqrt{2d/g}$, per a un objecte deixat caure des del repòs. Una caiguda de 20 metres triga aproximadament 2,02 segons.

Per què aquesta calculadora utilitza 9,80665 m/s² en lloc de 9,8?

9,80665 m/s² és el valor exacte de la gravetat estàndard definit internacionalment i adoptat l’any 1901. Arrodonir-lo a 9,8 o 9,81 és habitual als manuals i prou precís per a la majoria dels usos. La calculadora utilitza el valor definit perquè els resultats mètrics i imperials descriguin la mateixa caiguda física, cosa que no passa amb el parell arrodonit 9,8 m/s² i 32,2 peus/s².

Aquesta calculadora té en compte la resistència de l’aire?

No. Suposa una caiguda lliure idealitzada en el buit. Això dona resultats precisos per a objectes densos i compactes que cauen des de distàncies moderades, però sobreestima la velocitat i la distància en el cas d’objectes lleugers o amples, o de caigudes molt llargues en què la resistència de l’aire esdevé significativa.