Calculadora d'Hipotenusa - Eina del Teorema de Pitàgores

Calculadora de la hipotenusa

Una calculadora de la hipotenusa troba la longitud del costat més llarg d’un triangle rectangle, anomenat hipotenusa. Utilitza el teorema de Pitàgores, una regla que relaciona els tres costats de qualsevol triangle rectangle.

Què és la hipotenusa?

Un triangle rectangle té un angle de 90 graus, format al punt on dos costats es troben en un angle recte. Aquests dos costats s’anomenen catets. El tercer costat, oposat a l’angle recte, és la hipotenusa. Sempre és el costat més llarg del triangle.

Fórmula del teorema de Pitàgores

El teorema de Pitàgores estableix que el quadrat de la hipotenusa és igual a la suma dels quadrats dels dos catets.

$c = \sqrt{a^2 + b^2}$

• c és la hipotenusa
• a i b són els dos catets

Per trobar un catet desconegut en lloc de la hipotenusa, es pot reordenar la fórmula:

$a = \sqrt{c^2 - b^2} \qquad\qquad b = \sqrt{c^2 - a^2}$

El teorema rep el nom del matemàtic grec Pitàgores, que va viure aproximadament entre 570 i 495 aC. Aquesta relació ja es coneixia abans. Les tauletes d’argila babilòniques datades aproximadament del 1800 aC mostren que els matemàtics babilònics ja la feien servir, més de mil anys abans de Pitàgores.

Com calcular la hipotenusa

Per trobar la hipotenusa manualment, seguiu quatre passos.

1. Eleveu al quadrat la longitud del costat A (multipliqueu-la per ella mateixa).
2. Eleveu al quadrat la longitud del costat B.
3. Sumeu els dos valors elevats al quadrat.
4. Calculeu l’arrel quadrada d’aquesta suma.

La calculadora d’aquesta pàgina fa els mateixos quatre passos. Seleccioneu «Troba la hipotenusa», «Troba el costat A» o «Troba el costat B» al menú i, a continuació, introduïu les dues longituds conegudes. El resultat s’actualitza tan aviat com s’introdueixen nombres vàlids i s’arrodoneix a dues xifres decimals.

Tots dos costats han d’utilitzar la mateixa unitat de mesura, com ara polzades o metres. La calculadora no converteix entre unitats; per tant, un valor introduït en peus i un valor introduït en polzades no donaran junts un resultat significatiu.

Exemple resolt

Un triangle rectangle té un costat A de 3 peus (0,91 m) i un costat B de 4 peus (1,2 m).

c = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5,00 peus (1,52 m)

Aquest patró 3-4-5 és una drecera que fan servir els fusters per comprovar que un angle és recte. Mesureu 3 peus al llarg d’una aresta i 4 peus al llarg de l’aresta perpendicular. La distància diagonal entre aquests dos punts ha de mesurar exactament 5 peus. Qualsevol múltiple del patró funciona de la mateixa manera, com ara 6-8-10 o 30-40-50.

Un segon exemple utilitza valors decimals. Un triangle rectangle té un costat A de 2,5 polzades (6,35 cm) i un costat B de 6,8 polzades (17,3 cm).

c = √(2,5² + 6,8²) = √(6,25 + 46,24) = √52,49 ≈ 7,24 polzades (18,4 cm)

Les mides dels televisors i dels monitors es mesuren d’aquesta manera. La mida de pantalla indicada és la diagonal, que és la hipotenusa del rectangle format per l’amplada i l’alçada de la pantalla.

Trobar un costat desconegut

Si ja es coneixen la hipotenusa i un catet, la calculadora pot trobar l’altre catet. Seleccioneu «Troba el costat A» o «Troba el costat B» i, a continuació, introduïu la hipotenusa i el catet conegut.

Per exemple, un triangle rectangle té una hipotenusa de 10 metres i un costat B de 6 metres.

a = √(10² − 6²) = √(100 − 36) = √64 = 8,00 metres

La hipotenusa sempre ha de ser més llarga que qualsevol dels dos catets, ja que és el costat més llarg del triangle. Si el valor introduït per a la hipotenusa no és més gran que el del catet conegut, la calculadora mostra un error en lloc d’un resultat, perquè no existeix cap triangle rectangle així.

Usos habituals

El teorema de Pitàgores s’utilitza sempre que cal trobar una distància diagonal recta a partir de dues mesures perpendiculars.

• Construcció i fusteria: comprovar que l’angle d’un bastidor o d’una paret és recte i calcular la longitud de les bigues inclinades o dels muntants d’una escala.
• Topografia: convertir distàncies horitzontals i verticals en una distància directa en línia de visió.
• Navegació i gràfics per ordinador: la fórmula de la distància entre dos punts d’un gràfic, d = √[(x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²], és el mateix teorema aplicat a coordenades.
• Educació: és una de les primeres demostracions geomètriques que coneixen molts estudiants i es pot comprovar amb exemples senzills de nombres enters, com ara 3-4-5 o 5-12-13.

El teorema només s’aplica als triangles rectangles. Per a un triangle sense cap angle de 90 graus, s’utilitza el teorema del cosinus.

Preguntes freqüents

Quina és la fórmula de la hipotenusa? c = √(a² + b²), on a i b són els dos catets d’un triangle rectangle i c és la hipotenusa.

Es pot utilitzar per a triangles sense cap angle recte? No. El teorema de Pitàgores només s’aplica als triangles rectangles. Un triangle sense cap angle de 90 graus requereix el teorema del cosinus.

Quina és la regla 3-4-5? És una drecera per comprovar que un angle és recte. Si un costat mesura 3 unitats, un costat perpendicular adjacent mesura 4 unitats i la diagonal entre els seus extrems mesura 5 unitats, l’angle és recte. Qualsevol múltiple de 3-4-5, com ara 6-8-10 o 30-40-50, funciona de la mateixa manera.

Tots dos costats han d’utilitzar la mateixa unitat de mesura? Sí. Tots dos catets s’han d’introduir en la mateixa unitat, com ara tots dos en peus o tots dos en metres. Barrejar unitats, com peus i polzades, produeix un resultat matemàticament correcte però físicament sense sentit.

Per què la calculadora mostra un error per a algunes combinacions d’hipotenusa i catet? La hipotenusa sempre és el costat més llarg d’un triangle rectangle. Si el valor introduït per a la hipotenusa no és més gran que el del catet conegut, no existeix cap triangle rectangle vàlid i la calculadora retorna un error en lloc d’un resultat.

Quantes xifres decimals mostra el resultat? Dues. La calculadora conserva tota la precisió internament durant el càlcul i només arrodoneix el nombre que es mostra.

És el mateix que la fórmula de la distància? Sí. La fórmula de la distància en geometria de coordenades, d = √[(x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²], és el teorema de Pitàgores aplicat a dos punts d’un gràfic. Les separacions horitzontal i vertical entre els punts formen els dos catets d’un triangle rectangle.