Kalkulačka kruhu: Najděte poloměr, průměr, plochu a obvod

Kalkulačka kružnice

Kalkulačka kružnice vypočítá poloměr, průměr, obvod a obsah kruhu z kterékoli z těchto čtyř hodnot. Zadejte jednu známou veličinu a kalkulačka pomocí standardních geometrických vzorců vypočítá zbývající tři.

Kružnice je množina všech bodů v rovině, které leží ve stálé vzdálenosti od středu. Tato stálá vzdálenost je poloměr. Všechny ostatní základní míry kruhu (průměr, obvod a obsah) lze odvodit ze samotného poloměru.

Jak používat kalkulačku

1. Zvolte známý parametr: poloměr, průměr, obvod nebo obsah.
2. Zadejte jeho číselnou hodnotu. Hodnota musí být nulová nebo kladná; záporné délky a obsahy nemají fyzikální význam.
3. Kalkulačka zobrazí poloměr, průměr, obvod a obsah, každý zaokrouhlený na dvě desetinná místa.

Zadání nuly je povoleno a vrátí nulu pro všechny čtyři veličiny, protože kružnice s poloměrem nula je jediný bod. Nečíselné vstupy způsobí chybu ověření namísto výsledku.

Vzorce pro kružnici

Označme r poloměr a d průměr. Konstanta π (pí) je přibližně 3,14159; jde o poměr obvodu kružnice k jejímu průměru.

Průměr z poloměru:

$d = 2r$

Obvod:

$C = 2\pi r = \pi d$

Obsah:

$A = \pi r^2 = \frac{\pi d^2}{4}$

Poloměr z obvodu:

$r = \frac{C}{2\pi}$

Poloměr z obsahu:

$r = \sqrt{\frac{A}{\pi}}$

Z libovolné jediné hodnoty lze zbývající tři získat tak, že nejprve vypočítáme poloměr a potom použijeme výše uvedené vzorce pro průměr, obvod a obsah.

Jak vypočítat veličiny kružnice z jednotlivých výchozích hodnot

Výchozí hodnota: poloměr (r):

• Průměr: d = 2r
• Obvod: C = 2πr
• Obsah: A = πr²

Výchozí hodnota: průměr (d):

• Poloměr: r = d / 2
• Obvod: C = πd
• Obsah: A = πd² / 4

Výchozí hodnota: obvod (C):

• Poloměr: r = C / (2π)
• Průměr: d = C / π
• Obsah: A = πr²

Výchozí hodnota: obsah (A):

• Poloměr: r = √(A / π)
• Průměr: d = 2r
• Obvod: C = 2πr

Příklad

Kružnice má poloměr 5 jednotek.

• Průměr: d = 2 × 5 = 10 jednotek
• Obvod: C = 2π × 5 ≈ 31,42 jednotky
• Obsah: A = π × 5² ≈ 78,54 čtvereční jednotky

Stejnou kružnici by bylo možné popsat také jejím obvodem asi 31,42 jednotky. Dělením číslem 2π se získá zpět poloměr 5 jednotek a průměr i obsah vyplynou jako dříve. Kterákoli jedna ze čtyř hodnot určuje zbývající tři.

Vzorce pro kružnici v geometrii

Číslo π je iracionální, což znamená, že jeho desetinné číslice nikdy nekončí ani se neopakují. Staří matematici ho aproximovali: Babyloňané a Egypťané používali hrubé zlomky a Archimédés ze Syrakus (287–212 př. n. l.) ho ohraničil mezi 223/71 a 22/7 pomocí vepsaných a opsaných mnohoúhelníků. William Jones poprvé použil symbol π v jeho dnešním významu v roce 1706 a Leonhard Euler jej v roce 1737 převzal, čímž se tento symbol stal standardním. Moderní kalkulačky používají π na mnohem více desetinných míst, než jakékoli fyzikální měření vyžaduje.

Vzorce pro kružnici se uplatňují v oborech, jako je strojírenství, kde slouží k dimenzování potrubí, ozubených kol a kol vozidel; stavebnictví, kde určují množství materiálu pro kruhové konstrukce; a astronomie, kde se oběžné dráhy často aproximují kružnicemi nebo elipsami.

Často kladené otázky

Jak se vypočítá obvod kružnice? Vynásobte poloměr číslem 2π nebo průměr číslem π: C = 2πr = πd. Kružnice s poloměrem 5 jednotek má obvod přibližně 31,42 jednotky.

Jaký je vzorec pro obsah kruhu? Obsah se rovná součinu π a druhé mocniny poloměru: A = πr². Kruh s poloměrem 5 jednotek má obsah přibližně 78,54 čtvereční jednotky.

Jak zjistím poloměr z obvodu? Vydělte obvod číslem 2π (asi 6,2832). Obvod 31,42 jednotky dává poloměr 5 jednotek.

Jak zjistím poloměr z obsahu? Vydělte obsah číslem π a pak vezměte druhou odmocninu: r = √(A / π). Obsah 78,54 čtvereční jednotky dává poloměr 5 jednotek.

Jaký je vztah mezi průměrem a poloměrem? Průměr je vždy dvojnásobkem poloměru (d = 2r) a poloměr je vždy polovinou průměru (r = d / 2).

Lze při měření kružnice použít libovolnou jednotku? Ano. Poloměr, průměr a obvod mají stejnou jednotku délky, například centimetry nebo palce, zatímco obsah se vyjadřuje v této jednotce na druhou. Kalkulačka jednotky nepřevádí; výsledky používají jednotku, která byla zadána.

Reference

1. MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews. A history of Pi. A history of Pi – Archimédovy meze 223/71 < π < 22/7; rané egyptské a mezopotámské hodnoty; William Jones použil π v roce 1706 a Euler jej převzal v roce 1737.