Kalkulátor měření kruhu

Úvod

Kruh je základní tvar v geometrii, symbolizující celistvost a symetrii. Náš kalkulátor měření kruhu vám umožňuje vypočítat poloměr, průměr, obvod a plochu kruhu na základě jednoho známého parametru. Tento nástroj je neocenitelný pro studenty, inženýry, architekty a každého, kdo se zajímá o pochopení vlastností kruhů.

Jak používat tento kalkulátor

1. Vyberte parametr, který znáte:

   • Poloměr
   • Průměr
   • Obvod
   • Plocha

2. Zadejte hodnotu:

   • Zadejte číselnou hodnotu pro vybraný parametr.
   • Ujistěte se, že hodnota je kladné reálné číslo.

3. Vypočítat:

   • Kalkulátor vypočítá zbývající měření kruhu.
   • Zobrazované výsledky zahrnují:
     • Poloměr ($r$)
     • Průměr ($d$)
     • Obvod ($C$)
     • Plocha ($A$)

Ověření vstupu

Kalkulátor provádí následující kontroly uživatelských vstupů:

• Kladná čísla: Všechny vstupy musí být kladná reálná čísla.
• Platné číselné hodnoty: Vstupy musí být číselné a nesmí obsahovat žádné nečíselné znaky.

Pokud jsou detekovány neplatné vstupy, zobrazí se chybová zpráva a výpočet nebude pokračovat, dokud nebude opraven.

Vzorce

Vztahy mezi poloměrem, průměrem, obvodem a plochou kruhu jsou definovány následujícími vzorci:

1. Průměr ($d$):

   $d = 2r$

2. Obvod ($C$):

   $C = 2\pi r = \pi d$

3. Plocha ($A$):

   $A = \pi r^2 = \frac{\pi d^2}{4}$

4. Poloměr ($r$) z obvodu:

   $r = \frac{C}{2\pi}$

5. Poloměr ($r$) z plochy:

   $r = \sqrt{\frac{A}{\pi}}$

Výpočet

Zde je způsob, jakým kalkulátor vypočítává každé měření na základě vstupu:

1. Když je znám poloměr ($r$):

   • Průměr: $d = 2r$
   • Obvod: $C = 2\pi r$
   • Plocha: $A = \pi r^2$

2. Když je znám průměr ($d$):

   • Poloměr: $r = \frac{d}{2}$
   • Obvod: $C = \pi d$
   • Plocha: $A = \frac{\pi d^2}{4}$

3. Když je znám obvod ($C$):

   • Poloměr: $r = \frac{C}{2\pi}$
   • Průměr: $d = \frac{C}{\pi}$
   • Plocha: $A = \pi r^2$

4. Když je známá plocha ($A$):

   • Poloměr: $r = \sqrt{\frac{A}{\pi}}$
   • Průměr: $d = 2r$
   • Obvod: $C = 2\pi r$

Hraniční případy a zpracování vstupů

• Negativní vstupy:

  • Negativní hodnoty nejsou platné pro měření kruhu.
  • Kalkulátor zobrazí chybovou zprávu pro negativní vstupy.

• Nula jako vstup:

  • Nula je platný vstup, ale vede k tomu, že všechna ostatní měření budou nulová.
  • Fyzicky kruh s nulovými rozměry neexistuje, takže zadání nuly slouží jako teoretický případ.

• Extrémně velké hodnoty:

  • Kalkulátor může zpracovávat velmi velká čísla, omezená přesností použitého programovacího jazyka.
  • Buďte si vědomi možných chyb při zaokrouhlování u extrémně velkých hodnot.

• Nečíselné vstupy:

  • Vstupy musí být číselné.
  • Jakýkoli nečíselný vstup povede k chybové zprávě.

Případové použití

Kalkulátor měření kruhu je užitečný v různých reálných aplikacích:

1. Inženýrství a architektura:

   • Navrhování kruhových komponentů, jako jsou trubky, kola a oblouky.
   • Výpočet materiálových potřeb pro stavební projekty zahrnující kruhové tvary.

2. Výroba:

   • Určování rozměrů dílů a nástrojů.
   • Výpočet řezacích drah pro CNC stroje.

3. Astronomie a vesmírná věda:

   • Výpočet planetárních orbit, které jsou často přibližovány jako kruhy.
   • Odhad povrchové plochy nebeských těles.

4. Každodenní život:

   • Plánování kruhových zahrad, fontán nebo kulatých stolů.
   • Určování množství oplocení potřebného pro kruhové ohrady.

Alternativy

Ačkoli jsou kruhy základní, existují alternativní tvary a vzorce pro různé aplikace:

• Elipsy:

  • Pro aplikace vyžadující protáhlé kruhy.
  • Výpočty zahrnují poloosy.

• Sektory a segmenty:

  • Části kruhu.
  • Užitečné pro výpočet ploch nebo obvodů koláčových plátků.

• Pravidelné mnohoúhelníky:

  • Aproximace kruhů pomocí tvarů jako jsou hexagony nebo oktagony.
  • Zjednodušuje konstrukci a výpočet v některých inženýrských kontextech.

Historie

Studium kruhů sahá až do starověkých civilizací:

• Starověká matematika:

  • Babyloňané a Egypťané používali aproximace pro $\pi$.
  • Archimedes (c. 287–212 př. n. l.) poskytl jeden z prvních zaznamenaných algoritmů pro výpočet $\pi$, odhadující ho mezi $\frac{22}{7}$ a $\frac{223}{71}$.

• Vývoj $\pi$:

  • Symbol $\pi$ popularizoval velšský matematik William Jones v roce 1706 a později jej přijal Leonhard Euler.
  • $\pi$ je iracionální číslo představující poměr obvodu kruhu k jeho průměru.

• Moderní matematika:

  • Kruh byl středobodem vývoje v trigonometrii, kalkulu a komplexní analýze.
  • Slouží jako základní koncept v geometrii a matematických důkazech.

Příklady

Níže jsou uvedeny příklady kódu demonstrující, jak vypočítat měření kruhu v různých programovacích jazycích:

1## Python kód pro výpočet měření kruhu
2import math
3
4def calculate_circle_from_radius(radius):
5    diameter = 2 * radius
6    circumference = 2 * math.pi * radius
7    area = math.pi * radius ** 2
8    return diameter, circumference, area
9
10## Příklad použití:
11radius = 5
12d, c, a = calculate_circle_from_radius(radius)
13print(f"Poloměr: {radius}")
14print(f"Průměr: {d}")
15print(f"Obvod: {c:.2f}")
16print(f"Plocha: {a:.2f}")
17

1// JavaScript kód pro výpočet měření kruhu
2function calculateCircleFromDiameter(diameter) {
3  const radius = diameter / 2;
4  const circumference = Math.PI * diameter;
5  const area = Math.PI * Math.pow(radius, 2);
6  return { radius, circumference, area };
7}
8
9// Příklad použití:
10const diameter = 10;
11const { radius, circumference, area } = calculateCircleFromDiameter(diameter);
12console.log(`Poloměr: ${radius}`);
13console.log(`Průměr: ${diameter}`);
14console.log(`Obvod: ${circumference.toFixed(2)}`);
15console.log(`Plocha: ${area.toFixed(2)}`);
16

1// Java kód pro výpočet měření kruhu
2public class CircleCalculator {
3    public static void calculateCircleFromCircumference(double circumference) {
4        double radius = circumference / (2 * Math.PI);
5        double diameter = 2 * radius;
6        double area = Math.PI * Math.pow(radius, 2);
7
8        System.out.printf("Poloměr: %.2f%n", radius);
9        System.out.printf("Průměr: %.2f%n", diameter);
10        System.out.printf("Obvod: %.2f%n", circumference);
11        System.out.printf("Plocha: %.2f%n", area);
12    }
13
14    public static void main(String[] args) {
15        double circumference = 31.42;
16        calculateCircleFromCircumference(circumference);
17    }
18}
19

1// C# kód pro výpočet měření kruhu
2using System;
3
4class CircleCalculator
5{
6    static void CalculateCircleFromArea(double area)
7    {
8        double radius = Math.Sqrt(area / Math.PI);
9        double diameter = 2 * radius;
10        double circumference = 2 * Math.PI * radius;
11
12        Console.WriteLine($"Poloměr: {radius:F2}");
13        Console.WriteLine($"Průměr: {diameter:F2}");
14        Console.WriteLine($"Obvod: {circumference:F2}");
15        Console.WriteLine($"Plocha: {area:F2}");
16    }
17
18    static void Main()
19    {
20        double area = 78.54;
21        CalculateCircleFromArea(area);
22    }
23}
24

1## Ruby kód pro výpočet měření kruhu
2def calculate_circle_from_radius(radius)
3  diameter = 2 * radius
4  circumference = 2 * Math::PI * radius
5  area = Math::PI * radius ** 2
6  return diameter, circumference, area
7end
8
9## Příklad použití:
10radius = 5.0
11diameter, circumference, area = calculate_circle_from_radius(radius)
12puts "Poloměr: #{radius}"
13puts "Průměr: #{diameter}"
14puts "Obvod: #{circumference.round(2)}"
15puts "Plocha: #{area.round(2)}"
16

1<?php
2// PHP kód pro výpočet měření kruhu
3function calculateCircleFromDiameter($diameter) {
4    $radius = $diameter / 2;
5    $circumference = pi() * $diameter;
6    $area = pi() * pow($radius, 2);
7    return array($radius, $circumference, $area);
8}
9
10// Příklad použití:
11$diameter = 10.0;
12list($radius, $circumference, $area) = calculateCircleFromDiameter($diameter);
13echo "Poloměr: " . $radius . "\n";
14echo "Průměr: " . $diameter . "\n";
15echo "Obvod: " . round($circumference, 2) . "\n";
16echo "Plocha: " . round($area, 2) . "\n";
17?>
18

1// Rust kód pro výpočet měření kruhu
2fn calculate_circle_from_circumference(circumference: f64) -> (f64, f64, f64) {
3    let radius = circumference / (2.0 * std::f64::consts::PI);
4    let diameter = 2.0 * radius;
5    let area = std::f64::consts::PI * radius.powi(2);
6    (radius, diameter, area)
7}
8
9fn main() {
10    let circumference = 31.42;
11    let (radius, diameter, area) = calculate_circle_from_circumference(circumference);
12    println!("Poloměr: {:.2}", radius);
13    println!("Průměr: {:.2}", diameter);
14    println!("Obvod: {:.2}", circumference);
15    println!("Plocha: {:.2}", area);
16}
17

1// Go kód pro výpočet měření kruhu
2package main
3
4import (
5    "fmt"
6    "math"
7)
8
9func calculateCircleFromArea(area float64) (radius, diameter, circumference float64) {
10    radius = math.Sqrt(area / math.Pi)
11    diameter = 2 * radius
12    circumference = 2 * math.Pi * radius
13    return
14}
15
16func main() {
17    area := 78.54
18    radius, diameter, circumference := calculateCircleFromArea(area)
19    fmt.Printf("Poloměr: %.2f\n", radius)
20    fmt.Printf("Průměr: %.2f\n", diameter)
21    fmt.Printf("Obvod: %.2f\n", circumference)
22    fmt.Printf("Plocha: %.2f\n", area)
23}
24

1// Swift kód pro výpočet měření kruhu
2import Foundation
3
4func calculateCircleFromRadius(radius: Double) -> (diameter: Double, circumference: Double, area: Double) {
5    let diameter = 2 * radius
6    let circumference = 2 * Double.pi * radius
7    let area = Double.pi * pow(radius, 2)
8    return (diameter, circumference, area)
9}
10
11// Příklad použití:
12let radius = 5.0
13let results = calculateCircleFromRadius(radius: radius)
14print("Poloměr: \(radius)")
15print("Průměr: \(results.diameter)")
16print("Obvod: \(String(format: "%.2f", results.circumference))")
17print("Plocha: \(String(format: "%.2f", results.area))")
18

1% MATLAB kód pro výpočet měření kruhu
2function [radius, diameter, circumference, area] = calculateCircleFromRadius(radius)
3    diameter = 2 * radius;
4    circumference = 2 * pi * radius;
5    area = pi * radius^2;
6end
7
8% Příklad použití:
9radius = 5;
10[~, diameter, circumference, area] = calculateCircleFromRadius(radius);
11fprintf('Poloměr: %.2f\n', radius);
12fprintf('Průměr: %.2f\n', diameter);
13fprintf('Obvod: %.2f\n', circumference);
14fprintf('Plocha: %.2f\n', area);
15

1' Excel vzorec pro výpočet měření kruhu z poloměru
2' Předpokládá se, že poloměr je v buňce A1
3Průměr: =2*A1
4Obvod: =2*PI()*A1
5Plocha: =PI()*A1^2
6

Číselné příklady

1. Daný poloměr (( r = 5 ) jednotek):

   • Průměr: ( d = 2 \times 5 = 10 ) jednotek
   • Obvod: ( C = 2\pi \times 5 \approx 31.42 ) jednotek
   • Plocha: ( A = \pi \times 5^2 \approx 78.54 ) čtverečních jednotek

2. Daný průměr (( d = 10 ) jednotek):

   • Poloměr: ( r = \frac{10}{2} = 5 ) jednotek
   • Obvod: ( C = \pi \times 10 \approx 31.42 ) jednotek
   • Plocha: ( A = \frac{\pi \times 10^2}{4} \approx 78.54 ) čtverečních jednotek

3. Daný obvod (( C = 31.42 ) jednotek):

   • Poloměr: ( r = \frac{31.42}{2\pi} \approx 5 ) jednotek
   • Průměr: ( d = 2 \times 5 = 10 ) jednotek
   • Plocha: ( A = \pi \times 5^2 \approx 78.54 ) čtverečních jednotek

4. Daná plocha (( A = 78.54 ) čtverečních jednotek):

   • Poloměr: ( r = \sqrt{\frac{78.54}{\pi}} \approx 5 ) jednotek
   • Průměr: ( d = 2 \times 5 = 10 ) jednotek
   • Obvod: ( C = 2\pi \times 5 \approx 31.42 ) jednotek

Diagramy

Níže je diagram kruhu ilustrující poloměr (( r )), průměr (( d )), obvod (( C )) a plochu (( A )).

Obrázek: Diagram kruhu ilustrující poloměr (( r )), průměr (( d )), obvod (( C )) a plochu (( A )).

Odkazy

1. "Kruh." Wolfram MathWorld, https://mathworld.wolfram.com/Circle.html.
2. "Obvod a plocha kruhu." Khan Academy, https://www.khanacademy.org/math/basic-geo/basic-geo-circles.
3. Beckmann, Petr. Historie ( \pi ). St. Martin's Press, 1971.
4. Archimedes. Měření kruhu, https://www.math.ubc.ca/~vjungic/students/Archimedes-Measurement%20of%20a%20Circle.pdf.