Kalkulačka kruhu: Najděte poloměr, průměr, plochu a obvod

Kalkulátor kružnice

Kalkulátor kružnice vypočítá poloměr, průměr, obvod a obsah kružnice z kterékoli z těchto čtyř hodnot. Zadejte jednu známou veličinu a kalkulátor pomocí standardních geometrických vzorců vypočítá zbývající tři.

Kružnice je množina všech bodů v rovině, které leží v pevné vzdálenosti od středu. Tato pevná vzdálenost se nazývá poloměr. Průměr, obvod i obsah lze odvodit pouze z poloměru.

Jak používat kalkulačku

1. Zvolte známý parametr: poloměr, průměr, obvod nebo obsah.
2. Zadejte jeho číselnou hodnotu. Hodnota musí být nulová nebo kladná; záporné délky a obsahy nemají fyzikální význam.
3. Kalkulátor zobrazí poloměr, průměr, obvod a obsah, každý zaokrouhlený na dvě desetinná místa.

Kalkulátor také kružnici vykreslí. Kresba je schematická a není v měřítku, takže malá i obrovská kružnice vypadají přibližně stejně velké.

Zadání nuly je povoleno a vrátí nulu pro všechny čtyři veličiny, protože kružnice s poloměrem nula je jediný bod. Nečíselné vstupy způsobí chybu ověření namísto výsledku.

Vzorce pro kružnici

Označme r poloměr a d průměr. Konstanta π (pí) je přibližně 3,14159; jde o poměr obvodu kružnice k jejímu průměru.

Průměr z poloměru:

$d = 2r$

Obvod:

$C = 2\pi r = \pi d$

Obsah:

$A = \pi r^2 = \frac{\pi d^2}{4}$

Poloměr z obvodu:

$r = \frac{C}{2\pi}$

Poloměr z obsahu:

$r = \sqrt{\frac{A}{\pi}}$

Z libovolné jediné hodnoty lze zbývající tři získat tak, že nejprve vypočítáme poloměr a potom použijeme výše uvedené vzorce pro průměr, obvod a obsah.

Jak vypočítat veličiny kružnice z jednotlivých výchozích hodnot

Výchozí hodnota: poloměr (r):

• Průměr: $d = 2r$
• Obvod: $C = 2\pi r$
• Obsah: $A = \pi r^2$

Výchozí hodnota: průměr (d):

• Poloměr: $r = \frac{d}{2}$
• Obvod: $C = \pi d$
• Obsah: $A = \frac{\pi d^2}{4}$

Výchozí hodnota: obvod (C):

• Poloměr: $r = \frac{C}{2\pi}$
• Průměr: $d = \frac{C}{\pi}$
• Obsah: $A = \pi r^2$

Výchozí hodnota: obsah (A):

• Poloměr: $r = \sqrt{\frac{A}{\pi}}$
• Průměr: $d = 2r$
• Obvod: $C = 2\pi r$

Příklad výpočtu

Kružnice má poloměr 5 jednotek.

• Průměr: d = 2 × 5 = 10 jednotek.
• Obvod: C = 2π × 5 ≈ 31,42 jednotek.
• Obsah: A = π × 5² ≈ 78,54 čtverečních jednotek.

Tatáž kružnice může být popsána obvodem přibližně 31,42 jednotek. Vydělením hodnoty 31,42 číslem 2π získáme po zaokrouhlení 5,00 jednotek, takže se vrátíme k poloměru a průměr i obsah získáme stejně jako předtím. Kterákoli ze čtyř hodnot určuje zbývající tři.

Vzorce pro kružnici v geometrii

Číslo π je iracionální, což znamená, že jeho desetinný rozvoj nikdy nekončí ani se neopakuje. Staří matematici je aproximovali: Babyloňané a Egypťané používali hrubé zlomky a Archimédés ze Syrakus kolem 250 př. n. l. pomocí mnohoúhelníků narýsovaných uvnitř i vně kružnice dokázal, že π leží mezi 223/71 a 22/7. Symbol π proslavil v 18. století matematik Leonhard Euler. Moderní kalkulátory používají π na mnohem více desetinných míst, než vyžaduje jakékoli fyzikální měření.

Vzorce pro kružnici se používají při dimenzování potrubí, ozubených kol a kol, při výpočtu množství materiálu potřebného pro kruhovou konstrukci a při modelování oběžných drah v astronomii.

Často kladené otázky

Jak se vypočítá obvod kružnice? Vynásobte poloměr číslem 2π nebo průměr číslem π: C = 2πr = πd. Kružnice s poloměrem 5 jednotek má obvod přibližně 31,42 jednotek.

Jaký je vzorec pro obsah kružnice? Obsah se rovná součinu π a druhé mocniny poloměru: A = πr². Kružnice s poloměrem 5 jednotek má obsah přibližně 78,54 čtverečních jednotek.

Jak zjistím poloměr z obvodu? Vydělte obvod číslem 2π, tedy přibližně 6,2832. Obvod 31,42 jednotek dává poloměr přibližně 5 jednotek.

Jak zjistím poloměr z obsahu? Vydělte obsah číslem π a potom umocněte výsledek na jednu polovinu: r = √(A / π). Obsah 78,54 čtverečních jednotek dává poloměr přibližně 5 jednotek.

Jaký je vztah mezi průměrem a poloměrem? Průměr je vždy dvojnásobkem poloměru (d = 2r) a poloměr je vždy polovinou průměru (r = d / 2).

Lze při měření kružnice použít libovolnou jednotku? Ano. Poloměr, průměr a obvod mají stejnou jednotku délky, například centimetry nebo palce, zatímco obsah se vyjadřuje v této jednotce na druhou. Kalkulátor jednotky nepřevádí; výsledky používají jednotku, která byla zadána.

Reference

1. "Circle." Wolfram MathWorld. https://mathworld.wolfram.com/Circle.html
2. "Circumference and Area of a Circle." Khan Academy. https://www.khanacademy.org/math/basic-geo/basic-geo-circles
3. Beckmann, Petr. A History of π. St. Martin's Press, 1971.
4. Archimedes. Measurement of a Circle. https://www.math.ubc.ca/~vjungic/students/Archimedes-Measurement%20of%20a%20Circle.pdf