Opsparingsberegner: Fremtidsværdi med indbetalinger

Opsparingsberegner

En opsparingsberegner anslår, hvor meget en opsparings- eller investeringskonto vil være værd efter et valgt antal år. Den kombinerer et engangsindskud ved start med et fast månedligt, kvartalsvist eller årligt indskud og lader begge vokse med renters rente.

Hvad beregneren gør

Beregneren bruger syv input: det oprindelige indskud, det faste indskud, hvor ofte indskud foretages (månedligt, kvartalsvist eller årligt), om hvert indskud foretages i begyndelsen eller slutningen af perioden, den årlige rente, hvor ofte renten tilskrives, og det antal år pengene vokser.

Den returnerer tre tal: fremtidsværdien (slutbeholdningen), de samlede indskud (det oprindelige indskud plus alle faste indskud) og de samlede optjente renter (forskellen mellem de to). Et diagram viser saldoen ved slutningen af hver indskudsperiode.

Det oprindelige indskud kan være fra 0 US$ til 1 US$ billion, og indskuddet kan være fra 0 US$ til 1 US$ milliard pr. periode. Renten kan være fra 0 % til 100 %. Antallet af år skal være større end 0 og højst 100. Mindst ét af det oprindelige indskud og det faste indskud skal være større end 0 US$.

Sådan beregnes fremtidsværdien af en opsparingsordning

To standardresultater kombineres, og begge er beskrevet i Wikipedia-artiklerne »Future value« og »Annuity«.

Det oprindelige indskud vokser alene med renters rente:

FV(indskud) = P₀ × (1 + i)ˣ

Strømmen af faste indskud vokser som en annuitet:

FV(indskud) = PMT × (1 + i)ˣ⁻ᴺ × A

• P₀ er det oprindelige indskud.
• PMT er det faste indskud.
• i er renten for én indskudsperiode.
• x er tidshorisonten målt i indskudsperioder (år × perioder pr. år).
• N er antallet af faktisk foretagne indskud.
• A er annuitetsfaktoren, altså fremtidsværdien af 1 US$ indsat hver periode i N perioder.

Annuitetsfaktoren afhænger af, hvornår indskuddene foretages:

Et indskud i begyndelsen af hver periode forrentes i én ekstra periode, hvilket er grunden til den ekstra faktor (1 + i). Når renten er 0 %, er annuitetsfaktoren N: indskuddene lægges sammen uden vækst.

Fremtidsværdien er summen af de to dele. De samlede renter er fremtidsværdien minus alt, der er indbetalt.

Når tilskrivning og indskud har forskellig hyppighed

Renter kan tilskrives oftere eller sjældnere, end indskud foretages, f.eks. månedlig rentetilskrivning med kvartalsvise indskud. Beregneren omregner den nominelle årlige rente r, der tilskrives n gange om året, til den effektive rente for én indskudsperiode (se Wikipedia-artiklen »Effective interest rate«):

i = (1 + r/n)^(n/m) − 1

hvor m er antallet af indskud pr. år. Med en årlig rente på 5 %, der tilskrives månedligt, og kvartalsvise indskud er i = (1 + 0,05/12)³ − 1 ≈ 1,2552 % pr. kvartal. Når de to hyppigheder er ens, er i direkte lig med r/n.

Regneeksempel

En opsparingsordning starter med 1.000 US$ og tilføjer 100 US$ i begyndelsen af hver måned i 10 år med en årlig rente på 5 %, der tilskrives månedligt. Dette er beregnerens standardværdier.

1. Perioder pr. år m = 12, så tidshorisonten er x = 120 perioder, og N = 120 indskud.
2. Den månedlige rente er i = 0,05 / 12 ≈ 0,0041667.
3. Vækstfaktor: (1 + i)¹²⁰ ≈ 1,647009.
4. Oprindeligt indskud: 1.000 US$ × 1,647009 ≈ 1.647,01 US$.
5. Annuitetsfaktor (almindelig): (1,647009 − 1) / 0,0041667 ≈ 155,282279. Indskuddene foretages i begyndelsen af hver måned, så der multipliceres med (1 + i): 155,929289.
6. Indskud: 100 US$ × 155,929289 ≈ 15.592,93 US$.
7. Fremtidsværdi: 1.647,01 US$ + 15.592,93 US$ = 17.239,94 US$.

De samlede indskud er 1.000 US$ + 120 × 100 US$ = 13.000 US$, så de samlede renter er 17.239,94 US$ − 13.000 US$ = 4.239,94 US$. Med samme ordning, men indskud i slutningen af hver måned, er fremtidsværdien 17.175,24 US$, omkring 65 US$ mindre.

Et andet eksempel med indskud i slutningen af måneden: oprindeligt indskud på 5.000 US$, 200 US$ pr. måned, 6 % tilskrevet månedligt, i 20 år. Her er (1,005)²⁴⁰ ≈ 3,310204, indskuddet vokser til 16.551,02 US$, annuitetsfaktoren er 462,040895, og indskuddene vokser til 92.408,18 US$. Fremtidsværdien er 108.959,20 US$: 53.000 US$ indbetalt og 55.959,20 US$ i renter. Dette stemmer med beregneren for renters rente fra den amerikanske Securities and Exchange Commission på investor.gov, som værktøjets beregningsmotor blev kontrolleret imod.

Konventioner, som denne beregner bruger

Indskud foretages som standard i begyndelsen af perioden. De fleste faktiske opsparingsordninger trækker beløbet fra kontoen i begyndelsen af hver måned, så standarden er en forudbetalt annuitet. Mange lærebøger og beregnere antager i stedet en almindelig annuitet; tidsindstillingen skifter mellem de to.

Brøkdele af år bestemmer antallet af indskud ud fra tidspunktet. Over 2,5 år med årlige indskud foretager en ordning med indskud ved periodens slutning 2 indskud (kun afsluttede år udløser betaling), mens en ordning med indskud ved periodens begyndelse foretager 3 indskud (der betales ved begyndelsen af hvert år). Hvert foretaget indskud samt det oprindelige beløb vokser stadig frem til den nøjagtige tidshorisont, inklusive den sidste delperiode.

Resultaterne er nominelle. Der fratrækkes ingen inflation, skat eller gebyrer. Fremtidsværdien er det beløb, kontoudtoget ville vise, ikke dets købekraft.

Afrunding sker én gang til sidst. Fremtidsværdien og de samlede indskud afrundes hver til nærmeste cent, og de samlede renter er deres forskel, så de tre viste tal altid går nøjagtigt op.

Ofte stillede spørgsmål

Hvad er fremtidsværdien af en opsparingsordning? Det er kontoens saldo ved ordningens afslutning: det oprindelige indskud og hvert faste indskud, som hver især er vokset med renters rente fra det tidspunkt, hvor beløbet blev indbetalt, til afslutningen.

Har det virkelig betydning at indbetale i begyndelsen af måneden? Ja, en smule. Hvert indskud giver renter i én ekstra periode, hvilket multiplicerer indskudsdelen af saldoen med (1 + i). I standardeksemplet er forskellen over 10 år 64,70 US$.

Hvorfor ændrer tilskrivningshyppigheden resultatet? Hyppigere rentetilskrivning tilskriver renter tidligere, så renterne begynder at give renter tidligere. Beregneren indarbejder dette i den effektive rente pr. periode i = (1 + r/n)^(n/m) − 1, så enhver kombination af tilskrivnings- og indskudshyppighed håndteres nøjagtigt.

Hvad sker der ved en rente på 0 %? Fremtidsværdien er blot summen af alle indbetalte penge. Standardordningen ved 0 % slutter med præcis 13.000 US$ og 0 US$ i renter.

Tager beregneren højde for inflation eller skatter? Nej. Alle resultater er nominelle beløb i dollar. Hvis købekraften skal anslås, kan der i stedet indtastes en lavere »real« rente, men værktøjet accepterer ikke negative renter.

Hvorfor er de samlede renter lig med fremtidsværdien minus de samlede indskud? Renter er alle de penge på kontoen, som ikke blev indbetalt. Da indskuddene medregnes i de samlede indskud, må resten af fremtidsværdien være kommet fra renters rente.

Referencer

1. "Future value." Wikipedia, https://en.wikipedia.org/wiki/Future_value.
2. "Annuity." Wikipedia, https://en.wikipedia.org/wiki/Annuity.
3. "Effective interest rate." Wikipedia, https://en.wikipedia.org/wiki/Effective_interest_rate.
4. "Compound Interest Calculator." U.S. Securities and Exchange Commission, Investor.gov, https://www.investor.gov/financial-tools-calculators/calculators/compound-interest-calculator.