Ühikringi kalkulaator: täpsed trigonomeetrilised väärtused
Sisestage nurk kraadides või radiaanides, et leida selle punkt ühikringil ning siinuse, koosinuse, tangensi, taandnurga ja kvadrandi. Kuvatakse täpsete standardnurkade väärtused.
Unit Circle Calculator
Enter an angle in degrees or radians to get its point on the unit circle, its sine, cosine and tangent, its reference angle and its quadrant. The standard angles are answered exactly.
Point on the circle (x, y)
(√3/2, 1/2)
Sine, cosine and tangent
cos θ (the x coordinate)
√3/2
sin θ (the y coordinate)
1/2
tan θ
√3/3
This is one of the sixteen standard angles, so the values are exact rather than rounded. As decimals: cos θ = 0.8660254, sin θ = 0.5, tan θ = 0.57735027.
Where it lands
Quadrant or axis
Quadrant I
Reference angle
30°
Reference angle in radians
π/6rad
The angle
Angle in degrees
30°
Angle in radians
0.52359878rad
Folded into one turn
30°
Folded angle in radians
π/6rad
The unit circle has radius 1 and is centred on the origin. A point on it is (cos θ, sin θ), so the coordinates and the two function values are the same pair of numbers. The tangent is sin θ divided by cos θ, which has no value where cos θ is 0.
Laadimiskalkulaator...
📚
Dokumentatsioon
Ühikringi kalkulaator
Ühikring on graafiku alguspunkti ümber joonistatud ring raadiusega 1. Ühikringi kalkulaator võtab sisendiks ühe nurga ja näitab, kus see nurk ringjoont lõikab: punkti (x, y), siinuse, koosinuse ja tangensi, viitenurga ning kvadrandi. See leht loeb nurka kraadides või radiaanides ning annab kuueteistkümne standardnurga korral täpsed väärtused, näiteks √3/2.
Mida kalkulaator teeb
Kasutaja sisestab ühe nurga ja valib kraadid või radiaanid. Leht tagastab:
- punkti (x, y), kus nurk ringjoont lõikab
- cos θ, sin θ ja tan θ
- viitenurga kraadides ja radiaanides
- kvadrandi või telje, kui nurk langeb teljele
- nurga mõlemas ühikus ning sama nurga ühe täispöörde piires
Kuueteistkümne standardnurga korral esitatakse vastused täpsete suletud avaldistena ja nende all näidatakse kümnendkuju. Kõik muud nurgad kuvatakse kaheksa tüvenumbriga. Ümardatakse ainult kuvamisel.
Ühikringi valem
Nurki mõõdetakse vastupäeva positiivsest x-teljest. Nurga θ all joonistatud kiir lõikab ringjoont ühes punktis ning selle punkti kaks koordinaati on koosinus ja siinus:
kus on horisontaalne koordinaat, vertikaalne koordinaat ja nurk.
Raadius on 1, seega on koordinaadid ja kahe funktsiooni väärtused sama arvupaar kahe nimetuse all. Seetõttu joonistatakse ring raadiusega 1, mitte mõne muu suurusega. Tangent moodustatakse samast arvupaarist:
Iga ringjoonel olev punkt rahuldab ka Pythagorase teoreemi, mida rakendatakse täisnurksele kolmnurgale külgedega ja ning hüpotenuusiga 1:
Kraadid ja radiaanid
Leht aktsepteerib mõlemat ühikut ja esitab mõlemad. Neid seob asjaolu, et pool täispööret on π radiaani:
\qquad \theta_{\mathrm{deg}} = \theta_{\mathrm{rad}} \times \frac{180}{\pi}$$ kus $\theta_{\mathrm{deg}}$ on nurk kraadides ja $\theta_{\mathrm{rad}}$ on sama nurk radiaanides. ### Üheks täispöördeks taandamine Nurk võib olla negatiivne ja ületada täispöörde. Punkt ringjoonel kordub iga 360° järel, seega viib leht nurga esmalt vahemikku 0° kuni, kuid välja arvatud, 360°: $$\theta_0 = ((\theta \bmod 360) + 360) \bmod 360$$ kus $\theta$ on sisestatud nurk kraadides ja $\theta_0$ sama suund ühe täispöörde piires. 750° teisendub kujule 30° ning −30° kujule 330°. Teisendus tehakse kraadides, kus jääk leitakse täpselt. ### Viitenurk ja kvadrant Viitenurk on kiire ja x-telje vaheline teravnurk. See ei ole kunagi suurem kui 90°: $$\theta_{\mathrm{ref}} = \begin{cases} \theta_0 & \text{if } \theta_0 \le 90 \\ 180 - \theta_0 & \text{if } \theta_0 \le 180 \\ \theta_0 - 180 & \text{if } \theta_0 \le 270 \\ 360 - \theta_0 & \text{muidu} \end{cases}$$ kus $\theta_0$ on ühe täispöörde piiresse viidud nurk kraadides. Siinuse, koosinuse ja tangensi absoluutväärtus sõltub ainult viitenurgast. Kvadrant määrab märgid. | Kvadrant | Ühe täispöörde piiresse viidud nurk | cos | sin | tan | |---|---|---|---|---| | I | 0° kuni 90° | + | + | + | | II | 90° kuni 180° | − | + | − | | III | 180° kuni 270° | − | − | + | | IV | 270° kuni 360° | + | − | − | Nurgad 0°, 90°, 180° ja 270° asuvad teljel. Kvadrant on kahe telje vahele jääv avatud piirkond, seega ei asu ükski neist neljast kvadrandis ning leht nimetab naaberkvadrandi valimise asemel telje. ### Kuusteist standardnurka Viis viitenurka annavad täpsed suletud avaldised. | Viitenurk | cos | sin | tan | |---|---|---|---| | 0° (0) | 1 | 0 | 0 | | 30° (π/6) | √3/2 | 1/2 | √3/3 | | 45° (π/4) | √2/2 | √2/2 | 1 | | 60° (π/3) | 1/2 | √3/2 | √3 | | 90° (π/2) | 0 | 1 | määramata | Nende ridade peegeldamine kolme teise kvadrandi annab kuusteist nurka: 0, 30, 45, 60, 90, 120, 135, 150, 180, 210, 225, 240, 270, 300, 315 ja 330 kraadi. Leht genereerib need esimese kvadrandi punkte veerandpöörde kaupa pöörates, mitte tabelit neli korda ümber kirjutades, sest just ümberkirjutamisel võib märgiviga sisse tulla. Ka 15°, 75° ja 105° annavad täpsed avaldised, kuid need on kahe liikmega, näiteks 2 − √3. Need jäävad sellest rühmast välja ja esitatakse kümnendkujul. 15° korral on cos 0,96592583, sin 0,25881905 ja tan 0,26794919. ### Näide: 210 kraadi 210° on suurem kui 180° ja väiksem kui 270°, seega langeb see III kvadranti. Kui 180 lahutada, jääb viitenurgaks 30°. Viitenurga 30° korral on kolm absoluutväärtust √3/2, 1/2 ja √3/3. III kvadrant muudab mõlemad koordinaadid negatiivseks, seega on punkt (−√3/2, −1/2). Tangent on negatiivse arvu jagatis negatiivse arvuga, mistõttu jääb see positiivseks: √3/3. Radiaanides on nurk 7π/6 ja viitenurk π/6. Kümnendkujul näitab leht cos −0,8660254, sin −0,5 ja tan 0,57735027. 570° ja −150° annavad samad vastused, sest mõlemad teisenduvad kujule 210°. ### Millised konstandid on täpsed | Konstant | Väärtus | Täpne? | Allikas | |---|---|---|---| | Kraadid ühe täispöörde piires | 360 | definitsiooni järgi täpne | ISO 80000-3 | | Radiaanid ühe täispöörde piires | 2π | definitsiooni järgi täpne | ISO 80000-3; SI brošüür | | cos 30°, sin 60° | √3/2 | täpne | NIST DLMF §4,14 | | cos 45°, sin 45° | √2/2 | täpne | NIST DLMF §4,14 | | cos 60°, sin 30° | 1/2 | täpne | NIST DLMF §4,14 | | tan 90°, tan 270° | väärtus puudub | täpne, poolus | NIST DLMF §4,15 | π on irratsionaalarv, seega puudub sellel täpne kümnend- või kahendkuju ning iga salvestatud väärtus on ümardatud. Leht hoiab selle ümardamise vastustest kahel viisil eemal. Teisendus tehakse kraadides, kus 360 jagub jäägita. Standardnurgad loetakse aga ülaltoodud suletud avaldiste tabelist, mitte kunagi ujukomaarvulisest siinusest. ### Radiaanides sisestatud nurga lugemine Radiaanides sisestatud väärtus on juba ümardatud kümnendarv. π/2 sisestatakse kujul 1,5707963267948966 ning tagasiteisenduse tulemus on nurgast 90 umbes kümne triljondik kraadi kaugusel, mitte täpselt 90. Seetõttu loeb leht iga nurga, mis jääb standardnurgast miljonikraadise täpsuse piiresse, selleks standardnurgaks. Lubatud hälve määrab, millist tabelit kasutatakse; see ei muuda vastust ebatäpsemaks. 30,001° ei muutu kujuks 30°. Miljardist kraadist suuremad nurgad lükatakse tagasi. See on aritmeetika, mitte geomeetria piirang: arvude vahe, mida arvuti suudab salvestada, kasvab koos nende suurusega ning umbes nelja ja poole miljardi kraadi järel on vahe suurem kui miljonikkraadine lubatud hälve, mistõttu ei anna teisendus enam nurga nimetamiseks piisavalt üksikasju. Miljard jätab sellest piirist allapoole varu. ### Korduma kippuvad küsimused **Milleks ühikringi kasutatakse?** See muudab siinuse ja koosinuse koordinaatideks. Ühe punkti lugemisel ringjoonelt saadakse mõlemad väärtused korraga ning joonis näitab, miks need korduvad iga täispöörde järel ja miks nende märgid ühest kvadrandist teise muutuvad. **Mis on sin 30° täpne väärtus?** Üks pool. cos 30° on √3/2 ehk ligikaudu 0,8660254 ning tan 30° on √3/3 ehk ligikaudu 0,57735027. **Miks on tan 90° määramata?** Tangent on siinuse ja koosinuse jagatis ning cos 90° on 0. Nulliga jagamisel puudub vastus. Leht tuvastab pooluse nurga nimetamise kaudu, mitte kontrollides, kas arvutatud tangensi väärtus osutub suureks, sest vahetult enne 90° asuv järsk tangent on tavaline arv. **Mis on viitenurk?** See on kiire ja x-telje vaheline teravnurk, seega jääb see alati 0° ja 90° vahele. Nurkadel 150°, 210° ja 330° on kõigil viitenurk 30°, mistõttu on nende siinuse ja koosinuse absoluutväärtused samad kolmes suuruses ning erinevad ainult märgi poolest. **Kas negatiivne nurk on lubatud?** Jah. Negatiivne nurk pöördub päripäeva. −30° näitab samas suunas nagu 330°, seega tagastab leht punkti (√3/2, −1/2) ja IV kvadrandi. **Miks näitab leht nurka kaks korda?** 750° ja 30° lõikavad ringjoont samas punktis, kuid need ei ole sama pööramine. Leht kordab sisestatud nurka, teisendab selle teise ühikusse ja näitab selle kõrval ühe täispöörde piiresse viidud nurka.