Siirry sisältöön
🛠️
Whiz Tools

Yksikköympyrälaskin: sinin, kosinin ja tangentin tarkat arvot

Syötä kulma asteina tai radiaaneina ja saat sen pisteen yksikköympyrällä sekä sinin, kosinin, tangentin, vertailukulman ja koordinaattineljänneksen. Tarkat arvot vakiokulmille.

Unit Circle Calculator

Enter an angle in degrees or radians to get its point on the unit circle, its sine, cosine and tangent, its reference angle and its quadrant. The standard angles are answered exactly.

The angle to place on the circle, in the unit chosen below. Any value is allowed, including a negative one and one past a full turn.

Point on the circle (x, y)
(√3/2, 1/2)

Sine, cosine and tangent

cos θ (the x coordinate)
√3/2
sin θ (the y coordinate)
1/2
tan θ
√3/3
This is one of the sixteen standard angles, so the values are exact rather than rounded. As decimals: cos θ = 0.8660254, sin θ = 0.5, tan θ = 0.57735027.

Where it lands

Quadrant or axis
Quadrant I
Reference angle
30°
Reference angle in radians
π/6rad

The angle

Angle in degrees
30°
Angle in radians
0.52359878rad
Folded into one turn
30°
Folded angle in radians
π/6rad
The unit circle has radius 1 and is centred on the origin. A point on it is (cos θ, sin θ), so the coordinates and the two function values are the same pair of numbers. The tangent is sin θ divided by cos θ, which has no value where cos θ is 0.
Latauslaskuri...
📚

Dokumentaatio

Yksikköympyrälaskin

Yksikköympyrä on origon ympärille piirretty ympyrä, jonka säde on 1. Yksikköympyrälaskin ottaa yhden kulman ja ilmoittaa, missä kulma kohtaa ympyrän: pisteen (x, y), sinin, kosinin ja tangentin, vertailukulman sekä kvadrantin. Tämä sivu lukee kulman asteina tai radiaaneina ja antaa kuudentoista vakiokulman tarkat arvot, kuten √3/2.

Mitä laskin tekee

Käyttäjä syöttää yhden kulman ja valitsee asteet tai radiaanit. Sivu palauttaa:

  • pisteen (x, y), jossa kulma leikkaa ympyrän
  • cos θ:n, sin θ:n ja tan θ:n
  • vertailukulman asteina ja radiaaneina
  • neljänneksen tai akselin, jos kulma osuu akselille
  • kulman molemmissa yksiköissä sekä saman kulman yhteen kierrokseen sovitettuna

Kuudentoista vakiokulman vastaukset esitetään tarkoissa suljetuissa muodoissa ja desimaalit niiden alla. Kaikki muut kulmat esitetään kahdeksan merkitsevän numeron tarkkuudella. Vain näyttöarvo pyöristetään.

Yksikköympyrän kaava

Kulmat mitataan vastapäivään positiivisesta x-akselista. Kulmassa θ piirretty puolisuora leikkaa ympyrän yhdessä pisteessä, ja tämän pisteen kaksi koordinaattia ovat kosini ja sini:

(x,y)=(cos⁡θ,sin⁡θ)(x, y) = (\cos\theta, \sin\theta)

jossa xx on vaakakoordinaatti, yy pyst koordinaatti ja θ\theta kulma.

Säde on 1, joten koordinaatit ja funktioiden kaksi arvoa ovat sama numeropari kahdella eri nimellä. Siksi ympyrän säteeksi valitaan 1 jonkin muun koon sijaan. Tangentti muodostetaan samasta numeroparista:

tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}

Jokainen ympyrän piste toteuttaa myös Pythagoraan lauseen, kun sitä sovelletaan suorakulmaiseen kolmioon, jonka kateetit ovat xx ja yy ja hypotenuusa 1:

cos⁡2θ+sin⁡2θ=1\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1

Asteet ja radiaanit

Sivu hyväksyy kumman tahansa yksikön ja ilmoittaa molemmat. Yksiköt liittyvät toisiinsa siten, että puoli kierrosta on π radiaania:

\qquad \theta_{\mathrm{deg}} = \theta_{\mathrm{rad}} \times \frac{180}{\pi}$$ jossa $\theta_{\mathrm{deg}}$ on kulma asteina ja $\theta_{\mathrm{rad}}$ sama kulma radiaaneina. ### Sovittaminen yhteen kierrokseen Kulma voi olla negatiivinen ja ylittää täyden kierroksen. Ympyrän piste toistuu joka 360°:n välein, joten sivu sovittaa kulman ensin välille 0°–360° siten, että yläraja ei kuulu väliin: $$\theta_0 = ((\theta \bmod 360) + 360) \bmod 360$$ jossa $\theta$ on syötetty kulma asteina ja $\theta_0$ sama suunta yhden kierroksen sisällä esitettynä. 750° sovitetaan kulmaksi 30° ja −30° kulmaksi 330°. Sovittaminen tehdään asteina, joissa jakojäännös on tarkka. ### Vertailukulma ja neljännes Vertailukulma on puolisuoran ja x-akselin välinen terävä kulma. Se on aina enintään 90°: $$\theta_{\mathrm{ref}} = \begin{cases} \theta_0 & \text{if } \theta_0 \le 90 \\ 180 - \theta_0 & \text{if } \theta_0 \le 180 \\ \theta_0 - 180 & \text{if } \theta_0 \le 270 \\ 360 - \theta_0 & \text{muulloin} \end{cases}$$ jossa $\theta_0$ on yhteen kierrokseen sovitettu kulma asteina. Sinin, kosinin ja tangentin itseisarvo riippuu vain vertailukulmasta. Neljännes määrittää etumerkit. | Neljännes | Sovitettu kulma | cos | sin | tan | |---|---|---|---|---| | I | 0°–90° | + | + | + | | II | 90°–180° | − | + | − | | III | 180°–270° | − | − | + | | IV | 270°–360° | + | − | − | Kulmat 0°, 90°, 180° ja 270° sijaitsevat akselilla. Neljännes on kahden akselin väliin jäävä avoin alue, joten yksikään näistä neljästä ei kuulu neljännekseen, vaan sivu ilmoittaa akselin valitsematta viereistä neljännestä. ### Kuusitoista vakiokulmaa Viidellä vertailukulmalla on tarkat suljetut muodot. | Vertailukulma | cos | sin | tan | |---|---|---|---| | 0° (0) | 1 | 0 | 0 | | 30° (π/6) | √3/2 | 1/2 | √3/3 | | 45° (π/4) | √2/2 | √2/2 | 1 | | 60° (π/3) | 1/2 | √3/2 | √3 | | 90° (π/2) | 0 | 1 | määrittelemätön | Näiden rivien peilaaminen kolmeen muuhun kvadranttiin antaa kuusitoista kulmaa: 0, 30, 45, 60, 90, 120, 135, 150, 180, 210, 225, 240, 270, 300, 315 ja 330 astetta. Sivu muodostaa ne kiertämällä ensimmäisen kvadrantin pisteitä neljänneskierroksen kerrallaan sen sijaan, että taulukko kirjoitettaisiin neljä kertaa, koska juuri jäljentämisen yhteydessä väärä etumerkki pääsee mukaan. Myös kulmilla 15°, 75° ja 105° on suljetut muodot, mutta ne ovat kaksitermisiä, kuten 2 − √3. Ne eivät kuulu tähän joukkoon, joten vastaukset annetaan desimaaleina. Kulmalle 15° saadaan cos 0,96592583, sin 0,25881905 ja tan 0,26794919. ### Esimerkki: 210 astetta 210° on suurempi kuin 180° ja pienempi kuin 270°, joten se osuu kolmanteen kvadranttiin. Kun luvusta vähennetään 180, vertailukulmaksi jää 30°. Vertailukulmalla 30° kolmen funktion itseisarvot ovat √3/2, 1/2 ja √3/3. Kolmannessa neljänneksessä molemmat koordinaatit ovat negatiivisia, joten piste on (−√3/2, −1/2). Tangentti on negatiivisen luvun ja negatiivisen luvun osamäärä, joten se säilyy positiivisena: √3/3. Radiaaneina kulma on 7π/6 ja vertailukulma π/6. Desimaaleina sivu näyttää cos −0,8660254, sin −0,5 ja tan 0,57735027. 570° ja −150° antavat samat vastaukset, koska molemmat sovitetaan kulmaksi 210°. ### Mitkä vakiot ovat tarkkoja | Vakio | Arvo | Tarkka? | Lähde | |---|---|---|---| | Astetta yhdessä kierroksessa | 360 | määritelmän mukaan tarkka | ISO 80000-3 | | Radiaania yhdessä kierroksessa | 2π | määritelmän mukaan tarkka | ISO 80000-3; SI-esite | | cos 30°, sin 60° | √3/2 | tarkka | NIST DLMF §4,14 | | cos 45°, sin 45° | √2/2 | tarkka | NIST DLMF §4,14 | | cos 60°, sin 30° | 1/2 | tarkka | NIST DLMF §4,14 | | tan 90°, tan 270° | ei arvoa | tarkka, napa | NIST DLMF §4,15 | π on irrationaalinen, joten sillä ei ole tarkkaa desimaali- tai binääriesitystä, ja jokainen tallennettu arvo siitä on pyöristetty. Sivu pitää tämän pyöristyksen poissa vastauksista kahdella tavalla. Sovittaminen tehdään asteina, joissa 360 on jaollinen ilman jakojäännöstä. Vakiokulmat luetaan edellä olevasta suljettujen muotojen taulukosta, ei koskaan liukulukusinin avulla. ### Radiaaneina syötetyn kulman lukeminen Radiaaniarvo on jo pyöristetty desimaali. π/2 syötetään muodossa 1,5707963267948966, ja takaisin muunnettuna se antaa kulman, joka poikkeaa noin kymmenen biljoonasosan asteen verran arvosta 90, eikä täsmälleen arvosta 90. Siksi sivu lukee kaikki vakiokulmasta asteen miljoonasosan sisällä olevat kulmat kyseisenä vakiokulmana. Toleranssi valitsee käytettävän taulukon, mutta ei laajenna vastausta. 30,001° ei muutu kulmaksi 30°. Yli miljardin asteen kulmat hylätään. Tämä rajoitus johtuu laskennasta, ei geometriasta: tietokoneen tallentamien lukujen välinen ero kasvaa niiden koon mukana, ja noin neljän ja puolen miljardin asteen jälkeen ero on suurempi kuin asteen miljoonasosan toleranssi, joten sovittaminen ei enää säilytä riittävästi tietoa kulman nimeämiseksi. Miljardi jättää tämän rajan alle turvamarginaalin. ### Usein kysyttyä **Mihin yksikköympyrää käytetään?** Se muuttaa sinin ja kosinin koordinaateiksi. Yhden pisteen lukeminen ympyrältä antaa molemmat arvot kerralla, ja kuva osoittaa, miksi ne toistuvat jokaisella täydellä kierroksella ja miksi niiden etumerkit vaihtuvat kvadrantista toiseen. **Mikä on sinin 30° tarkka arvo?** Yksi puolikas. cos 30° on √3/2 eli noin 0,8660254, ja tan 30° on √3/3 eli noin 0,57735027. **Miksi tan 90° on määrittelemätön?** Tangentti on sinin jaettuna kosinilla, ja cos 90° on 0. Nollalla jakamisella ei ole tulosta. Sivu löytää navan nimeämällä kulman sen sijaan, että se tarkistaisi, palautuuko lasketusta tangentista suuri arvo, koska jyrkkä tangentti juuri ennen kulmaa 90° on tavallinen luku. **Mikä on vertailukulma?** Se on puolisuoran ja x-akselin välinen terävä kulma, joten se on aina välillä 0°–90°. Kulmilla 150°, 210° ja 330° on kaikilla vertailukulma 30°, minkä vuoksi niiden sinillä ja kosinilla on samat kolme itseisarvoa ja vain etumerkki vaihtelee. **Toimiiko negatiivinen kulma?** Kyllä. Negatiivinen kulma kiertyy myötäpäivään. −30° osoittaa samaan suuntaan kuin 330°, joten sivu palauttaa pisteen (√3/2, −1/2) ja neljännen neljänneksen. **Miksi sivu näyttää kulman kahdesti?** 750° ja 30° leikkaavat ympyrän samassa pisteessä, mutta ne eivät ole sama kierto. Sivu näyttää syötetyn kulman, toisiksi yksiköiksi muunnetun kulman ja niiden vieressä yhteen kierrokseen sovitetun kulman.