מחשבון תוכנית חיסכון: ערך עתידי עם הפקדות

מחשבון תוכנית חיסכון

מחשבון תוכנית חיסכון מעריך כמה יהיה שוויו של חשבון חיסכון או השקעה לאחר מספר שנים שנבחר. הוא משלב הפקדה התחלתית חד־פעמית עם הפקדה קבועה מדי חודש, רבעון או שנה, ומגדיל את שתיהן באמצעות ריבית דריבית.

מה עושה המחשבון

המחשבון מקבל שבעה נתונים: ההפקדה ההתחלתית, ההפקדה הקבועה, תדירות ההפקדות (חודשית, רבעונית או שנתית), האם כל הפקדה מתבצעת בתחילת התקופה או בסופה, שיעור הריבית השנתי, תדירות צבירת הריבית דריבית ומספר השנים שבהן הכסף צובר ריבית.

הוא מחזיר שלושה נתונים: הערך העתידי (היתרה הסופית), סך ההפקדות (ההפקדה ההתחלתית בתוספת כל ההפקדות הקבועות) וסך הריבית שנצברה (ההפרש בין שני הנתונים). תרשים מציג את היתרה בסוף כל תקופת הפקדה.

ההפקדה ההתחלתית יכולה להיות בין 0 $ ל־1 $ טריליון, וההפקדה יכולה להיות בין 0 $ ל־1 $ מיליארד לכל תקופה. שיעור הריבית יכול להיות בין 0% ל־100%. מספר השנים חייב להיות גדול מ־0 ולא יותר מ־100. לפחות אחד מבין ההפקדה והתרומה חייב להיות גדול מ־0 $.

כיצד לחשב את הערך העתידי של תוכנית חיסכון

משולבות כאן שתי תוצאות תקניות, המתוארות שתיהן בערכי ויקיפדיה "ערך עתידי" ו"אנונה".

ההפקדה ההתחלתית גדלה באמצעות ריבית דריבית בלבד:

FV(הפקדה) = P₀ × (1 + i)ˣ

רצף ההפקדות הקבועות גדל כאנונה:

FV(הפקדות) = PMT × (1 + i)ˣ⁻ᴺ × A

• P₀ היא ההפקדה ההתחלתית.
• PMT היא ההפקדה הקבועה.
• i הוא שיעור הריבית עבור תקופת הפקדה אחת.
• x הוא אופק הזמן הנמדד בתקופות הפקדה (שנים × מספר התקופות בשנה).
• N הוא מספר ההפקדות שבוצעו בפועל.
• A הוא מקדם האנונה, כלומר הערך העתידי של 1 $ שהופקד בכל תקופה במשך N תקופות.

מקדם האנונה תלוי במועד ביצוע ההפקדות:

הפקדה בתחילת כל תקופה צוברת ריבית במשך תקופה נוספת, וזה מקורו של הגורם הנוסף (1 + i). כאשר השיעור הוא 0%, מקדם האנונה הוא N: ההפקדות מצטברות ללא גידול.

הערך העתידי הוא סכום שני החלקים. סך הריבית הוא הערך העתידי פחות כל הסכומים ששולמו.

כאשר תדירות צבירת הריבית ותדירות ההפקדות שונות

ריבית עשויה להיצבר בתדירות גבוהה יותר או נמוכה יותר מתדירות ההפקדות, למשל צבירה חודשית עם הפקדות רבעוניות. המחשבון ממיר את השיעור השנתי הנומינלי r, הנצבר n פעמים בשנה, לשיעור האפקטיבי עבור תקופת הפקדה אחת (ראו את ערך ויקיפדיה "שיעור ריבית אפקטיבי"):

i = (1 + r/n)^(n/m) − 1

כאשר m הוא מספר ההפקדות בשנה. בשיעור שנתי של 5%, הנצבר מדי חודש, ובהפקדות רבעוניות, i = (1 + 0.05/12)³ − 1 ≈ 1.2552% לרבעון. כאשר שתי התדירויות זהות, i הוא r/n ישירות.

דוגמה פתורה

תוכנית מתחילה ב־1,000 $ ומוסיפה 100 $ בתחילת כל חודש במשך 10 שנים, בשיעור שנתי של 5% הנצבר מדי חודש. אלה ערכי ברירת המחדל של המחשבון.

1. מספר התקופות בשנה m = 12, ולכן האופק הוא x = 120 תקופות ו־N = 120 הפקדות.
2. השיעור החודשי הוא i = 0.05 / 12 ≈ 0.0041667.
3. מקדם הגידול: (1 + i)¹²⁰ ≈ 1.647009.
4. הפקדה התחלתית: 1,000 $ × 1.647009 ≈ 1,647.01 $.
5. מקדם אנונה (רגילה): (1.647009 − 1) / 0.0041667 ≈ 155.282279. ההפקדות מתבצעות בתחילת כל חודש, לכן מכפילים ב־(1 + i): 155.929289.
6. הפקדות: 100 $ × 155.929289 ≈ 15,592.93 $.
7. ערך עתידי: 1,647.01 $ + 15,592.93 $ = 17,239.94 $.

סך ההפקדות הוא 1,000 $ + 120 × 100 $ = 13,000 $, ולכן סך הריבית הוא 17,239.94 $ − 13,000 $ = 4,239.94 $. באותה תוכנית, אך עם הפקדות בסוף כל חודש, הערך העתידי הוא 17,175.24 $, כלומר נמוך בכ־65 $.

דוגמה נוספת, עם הפקדות בסוף החודש: הפקדה התחלתית של 5,000 $, 200 $ לחודש, 6% הנצברים מדי חודש, במשך 20 שנים. כאן (1.005)²⁴⁰ ≈ 3.310204, ההפקדה גדלה ל־16,551.02 $, מקדם האנונה הוא 462.040895, וההפקדות גדלות ל־92,408.18 $. הערך העתידי הוא 108,959.20 $: שולמו 53,000 $ ונצברה ריבית בסך 55,959.20 $. תוצאה זו תואמת את מחשבון הריבית דריבית של רשות ניירות הערך של ארצות הברית באתר investor.gov, שכנגדו נבדק המנוע של הכלי.

מוסכמות שבהן משתמש המחשבון

כברירת מחדל, ההפקדות מתבצעות בתחילת התקופה. ברוב תוכניות החיסכון בפועל החשבון מחויב בתחילת כל חודש, ולכן ברירת המחדל היא אנונה מראש. ספרי לימוד ומחשבונים רבים מניחים במקום זאת אנונה רגילה; אפשרות העיתוי מחליפה בין שתי האפשרויות.

בשנים חלקיות, מספר ההפקדות נקבע לפי העיתוי. במשך 2.5 שנים של הפקדות שנתיות, תוכנית עם הפקדות בסוף התקופה מבצעת 2 הפקדות (רק שנים שהושלמו מזכות בהפקדה), ואילו תוכנית עם הפקדות בתחילת התקופה מבצעת 3 הפקדות (בכל שנה מתבצעת הפקדה בתחילתה). כל הפקדה שבוצעה, וכן הסכום ההתחלתי, ממשיכים לצבור ריבית עד לאופק הזמן המדויק, כולל התקופה החלקית האחרונה.

התוצאות הן נומינליות. לא מנוכים אינפלציה, מס או עמלה. הערך העתידי הוא הסכום שיופיע בדף החשבון, ולא כוח הקנייה שלו.

העיגול מתבצע פעם אחת, בסוף. הערך העתידי וסך ההפקדות מעוגלים כל אחד לסנט הקרוב, וסך הריבית הוא ההפרש ביניהם, כך ששלושת הנתונים המוצגים מסתכמים תמיד בדיוק.

שאלות נפוצות

מהו הערך העתידי של תוכנית חיסכון? זוהי יתרת החשבון בסוף התוכנית: ההפקדה ההתחלתית וכל הפקדה קבועה, שכל אחת מהן צומחת בריבית דריבית מרגע הפקדתה ועד הסוף.

האם הפקדה בתחילת החודש באמת משנה? כן, במידה קטנה. כל הפקדה צוברת ריבית במשך תקופה נוספת, שמכפילה את חלק ההפקדות ביתרה ב־(1 + i). בדוגמת ברירת המחדל, ההפרש במשך 10 שנים הוא 64.70 $.

מדוע תדירות צבירת הריבית משנה את התוצאה? צבירה בתדירות גבוהה יותר מזכה בריבית מוקדם יותר, ולכן הריבית מתחילה לצבור ריבית מוקדם יותר. המחשבון משלב זאת בשיעור האפקטיבי לכל תקופה i = (1 + r/n)^(n/m) − 1, ולכן כל שילוב של תדירות צבירת ריבית ותדירות הפקדות מטופל במדויק.

מה קורה בשיעור ריבית של 0%? הערך העתידי הוא פשוט סכום כל הכספים שהופקדו. תוכנית ברירת המחדל בשיעור של 0% מסתיימת בדיוק ב־13,000 $, עם ריבית בסך 0 $.

האם המחשבון מביא בחשבון אינפלציה או מסים? לא. כל התוצאות הן סכומים נומינליים בדולרים. כדי להעריך את כוח הקנייה, אפשר להזין במקום זאת שיעור "ריאלי" נמוך יותר, אך הכלי אינו מקבל שיעורים שליליים.

מדוע סך הריבית הוא הערך העתידי פחות סך ההפקדות? ריבית היא כל דולר בחשבון שלא הופקד. מכיוון שההפקדות נספרות בסך ההפקדות, כל מה שנותר מהערך העתידי חייב להגיע מצבירת הריבית דריבית.

הפניות

1. "Future value." ויקיפדיה, https://en.wikipedia.org/wiki/Future_value.
2. "Annuity." ויקיפדיה, https://en.wikipedia.org/wiki/Annuity.
3. "Effective interest rate." ויקיפדיה, https://en.wikipedia.org/wiki/Effective_interest_rate.
4. "Compound Interest Calculator." רשות ניירות הערך של ארצות הברית, Investor.gov, https://www.investor.gov/financial-tools-calculators/calculators/compound-interest-calculator.