מחשבון אנרגיה פוטנציאלית: PE = mgh

מחשבון אנרגיה פוטנציאלית

אנרגיה פוטנציאלית כבידתית היא האנרגיה שיש לגוף בשל הגובה שבו הוא נמצא מעל רמת ייחוס שנבחרה. מחשבון זה מחשב את האנרגיה על פי מסת הגוף, עוצמת הכבידה במקום וגובהו. הוא פועל גם בכיוון ההפוך: כאשר נתונים האנרגיה ושניים משלושת הנתונים האחרים, הוא מחזיר את הנתון הרביעי.

מה עושה המחשבון

בדף יש ארבעה שדות: אנרגיה פוטנציאלית בג'אולים, מסה, כבידה וגובה. לשדות המסה והגובה יש תפריט יחידות. שלושה שדות מלאים, אחד נותר ריק, והשדה הריק הוא התשובה. לאחר מכן מוצגים כל ארבעת הנתונים יחד, כך שניתן להשוות את שלושת הנתונים שהוזנו לתוצאה.

ניתן להזין מסה בקילוגרמים, גרמים, מיליגרמים, טונות מטריות, ליברות, אונקיות, סטונים, טונות קצרות אמריקאיות או טונות ארוכות. ניתן להזין גובה במטרים, קילומטרים, סנטימטרים, מילימטרים, מיקרומטרים, ננומטרים, מיילים, יארדים, רגליים, אינצ'ים או מיילים ימיים. לאנרגיה אין תפריט יחידות: היא נקראת ומוצגת בג'אולים. גם לכבידה אין תפריט יחידות. היא נקראת במטרים לשנייה בריבוע, ולכן יש להמיר נתון שניתן ברגל לשנייה בריבוע לפני הזנתו.

לפני ביצוע חישוב כלשהו, המסה מומרת לקילוגרמים והגובה למטרים באמצעות מאגר היחידות המשותף של האתר. התשובה מומרת בחזרה ליחידה שנבחרה עבור השדה. התוצאות מוצגות בדיוק של שמונה ספרות משמעותיות. רק התצוגה מעוגלת, והחישוב מתבצע על הערכים כפי שהוזנו. תוצאה הקטנה מ־0.0001, או גדולה או שווה ל־1,000,000,000, מוצגת בכתיב מדעי.

כל השדות נפתחים ריקים, כולל שדה הכבידה. שורת הכתובת נשארת מסונכרנת עם השדות, ושדה ריק אינו יכול להיכתב לקישור, ולכן קישור משותף מעביר בדיוק את שלושת הנתונים שמולאו ומשאיר את הרביעי ריק עבור הקורא הבא.

הנוסחה לאנרגיה פוטנציאלית

$PE = m g h$

כאשר $PE$ היא האנרגיה הפוטנציאלית בג'אולים (J), $m$ היא המסה בקילוגרמים (kg), $g$ היא עוצמת הכבידה במטרים לשנייה בריבוע (m/s²), ו־$h$ הוא הגובה במטרים (m).

אותו קשר, לאחר סידור מחדש, נותן את שלוש התשובות האחרות:

$m = \frac{PE}{g h}$

$g = \frac{PE}{m h}$

$h = \frac{PE}{m g}$

האנרגיה גדלה ביחס ישר לכל אחד משלושת הנתונים. הכפלת המסה פי שניים מכפילה את האנרגיה פי שניים. כך גם הכפלת הגובה, או העברת הגוף למקום שבו הכבידה חזקה פי שניים. כאן שום ערך אינו מועלה בריבוע, וזהו ההבדל העיקרי מאנרגיה קינטית.

פתרון עבור הכבידה הוא הכיוון החריג. הוא עונה על שאלה בנוסח "איזו משיכה הייתה יוצרת אנרגיה זו עבור מסה זו בגובה זה", וזו דרך אחת להשוות גוף אחד לאחר על פי אנרגיה שנמדדה.

הגובה נמדד ממפלס שהקורא בוחר

לאנרגיה פוטנציאלית אין אפס טבעי. הנוסחה נותנת את האנרגיה ביחס למפלס כלשהו, והקורא בוחר את המפלס: רצפה, הקרקע, פני הים או כל דבר אחר שמתאים לבעיה. לאחר מכן הגבהים נמדדים ממנו.

מתחת למפלס זה הגובה שלילי, וגם האנרגיה שלילית בהתאם. הדף שומר על הסימן במקום להגביל אותו לאפס. רצפת מרתף הנמצאת 3 m מתחת לאפס שנבחר אכן מחזיקה פחות אנרגיה ממפלס האפס, והצגתה כאפס תהיה שגויה ולא מסודרת יותר.

אילו קבועים מדויקים

המרות היחידות בדף זה הן הגדרות שהוסכמו על ידי גופי תקינה, ולא מדידות, ולכן ניסוי מדויק יותר לא ישנה אותן.

כבידה תקנית היא מוסכמה, ולא קריאה שנלקחה במקום מסוים כלשהו. הכבידה האמיתית על פני כדור הארץ משתנה לפי קו הרוחב והגובה, בערך בין 9.76 ל־9.83 m/s². הנתונים עבור גופים אחרים הם מדידות ומעוגלים: בערך 1.62 m/s² על הירח ובערך 3.71 m/s² על מאדים.

הדף אינו ממלא את שדה הכבידה בערך 9.80665. הנתון מצוטט בניסוח שליד השדה, ובדיקה קושרת את הניסוח הזה לקבוע שבמאגר, כדי שלא ייווצר פער ביניהם.

דוגמה פתורה

אדם במשקל 70 kg המטפס 2 m במדרגות על פני כדור הארץ, בכבידה תקנית.

הכפלת 70 ב־9.80665 נותנת 686.4655. הכפלת התוצאה ב־2 נותנת 1,372.931, ולכן הטיפוס אוגר 1,372.931 J, או בערך 1.37 קילוג'אול.

אותם נתונים פועלים גם לאחור. משאירים את המסה ריקה ומזינים 1,372.931 J עם 9.80665 m/s² ו־2 m: חלוקה בכבידה נותנת בדיוק 70, וזהו הערך שהדף מציג, 70 kg. אם משאירים את הכבידה ריקה, חלוקת 1,372.931 J ב־70 ולאחר מכן ב־2 מחזירה 9.80665 m/s².

אותה מסה של 70 kg המורמת לגובה 2 m על הירח, שבו הכבידה היא בערך 1.62 m/s², אוגרת רק 226.8 J, בערך שישית מהכמות.

דוגמה אימפריאלית משתמשת בשניים מהקבועים המגדירים לעיל. ליברה אחת היא 0.45359237 kg ורגל אחת היא 0.3048 m. הכפלת 0.45359237 ב־9.80665 נותנת 4.4482216152605, שהם ליברה־כוח אחת בניוטונים. הכפלת התוצאה הזו ב־0.3048 נותנת 1.3558179483314003 J, ליברת־כוח-רגל אחת. לאחר עיגול לשמונה ספרות משמעותיות, הדף מציג 1.3558179 J.

דוגמה שאינה מסתיימת במספר עגול: מדף הנמצא 0.1 m מעל שולחן עבודה, שנמצא בעצמו 0.2 m מעל הרצפה. מחשב מאחסן את שני המספרים האלה בייצוג בינארי, וסכומם הוא 0.30000000000000004 ולא 0.3. עבור ספר שמסתו 1 kg בגובה זה, האנרגיה היא 2.9419950000000004 J, והדף מציג 2.941995 J. הזנת האנרגיה חזרה עם אותה מסה ואותה כבידה מחזירה את הגובה המקורי, ספרה אחר ספרה.

כיצד החישוב מסודר

שמונה ספרות משמעותיות מספיקות להצגת שאריות העיגול, ולכן כל סידור מחדש נכתב כך שיתבטל בדיוק בערכים עגולים.

כל תשובה מחלקת פעם אחת בכל גורם, ולא פעם אחת במכפלתם. חלוקה בכבידה ולאחר מכן בגובה מעבירה זוג נתונים שמכפלתם הייתה גולשת לאינסוף או יורדת לאפס בפני עצמה. קילוגרם אחד המורם מטר אחד בכבידה תקנית אוגר בדיוק 9.80665 J, וכל סידור מחדש של שורה זו מחלק בחזרה בדיוק ב־1.

מה המחשבון מסרב לקבל

תיבת קלט מעבירה כל מספר שהוקלד או הודבק בה, ולכן הבדיקות החשובות הן אלה שבקוד החישוב.

גובה שלילי אינו נדחה, וכך גם אנרגיה שלילית, משום ששניהם תשובות ממשיות מתחת למפלס האפס שנבחר.

שני שדות ריקים או יותר, או היעדר שדות ריקים, נחשבים להנחיה ולא לתקלה. הדף מבקש שדה ריק אחד בדיוק ומחשב אותו.

היכן הנוסחה הזאת מפסיקה לפעול

הקשר מניח שעוצמת הכבידה זהה בכל נקודה במהלך העלייה. הנחה זו מתקיימת בקרבת פני השטח, שבה שינוי של מטרים ספורים אינו משנה דבר הניתן למדידה. היא נכשלת במרחקים שבהם הכבידה עצמה נחלשת, כמו במסלול לווייני, שבו יש להשתמש במקום זאת בצורה של אנרגיה פוטנציאלית כבידתית לפי חוק הריבוע ההפוך.

הדף עוסק רק באנרגיה פוטנציאלית כבידתית. קפיץ מתוח, גז דחוס וקשר כימי אוגרים אף הם אנרגיה, ולכל אחד מהם כלל משלו.

שאלות נפוצות

מהי אנרגיה פוטנציאלית כבידתית? זוהי האנרגיה שיש לגוף בגלל גובהו מעל מפלס שנבחר. הרמת הגוף מכניסה אליו אנרגיה. מתן אפשרות לגוף ליפול מחזיר את האנרגיה הזאת, בדרך כלל כתנועה. היחידה היא ג'אול.

כיצד מחשבים אנרגיה פוטנציאלית? מכפילים את המסה בקילוגרמים בכבידה במטרים לשנייה בריבוע, ולאחר מכן בגובה במטרים. עבור אדם שמסתו 70 kg המטפס 2 m על פני כדור הארץ, 70 כפול 9.80665 הוא 686.4655, ו־686.4655 כפול 2 הוא 1,372.931 J.

באיזה ערך של g יש להשתמש? כבידה תקנית, 9.80665 m/s², מתאימה לכל בעיה יומיומית על פני כדור הארץ, והיא מדויקת על פי הגדרה ולא על פי מדידה. הכבידה על פני השטח משתנה מעט ממקום למקום, בערך מ־9.76 עד 9.83 m/s². עבור גופים אחרים השדה מקבל כל ערך: בערך 1.62 m/s² עבור הירח ובערך 3.71 m/s² עבור מאדים.

האם אנרגיה פוטנציאלית יכולה להיות שלילית? כן. הגובה נמדד ממפלס שהקורא בוחר, ולגוף שמתחת למפלס זה יש גובה שלילי ואנרגיה שלילית. הדף שומר על הסימן הזה. אנרגיה קינטית מתנהגת אחרת, משום שמהירות בריבוע לעולם אינה קטנה מאפס.

כיצד מוצאים את הגובה מאנרגיה ידועה? מחלקים את האנרגיה במסה, ולאחר מכן בכבידה. עבור 1,372.931 J עם מסה של 70 kg על פני כדור הארץ, חלוקה ב־70 נותנת 19.6133, וחלוקת ערך זה ב־9.80665 נותנת 2 m.

מדוע הדף אינו מחשב מסה כאשר הגובה הוא אפס? במפלס האפס שנבחר האנרגיה האגורה היא אפס, ללא תלות במשקל הגוף, ולכן ערך האנרגיה אינו מספק מידע על המסה. אין מה לשחזר, והחלוקה הנדרשת כוללת אפס במכנה.