Įstrižainės Skaičiuoklė - Pitagoro Teoremos Įrankis

Įžambinės skaičiuoklė

Įžambinės skaičiuoklė nustato ilgiausios stačiojo trikampio kraštinės, vadinamos įžambine, ilgį. Ji taiko Pitagoro teoremą – taisyklę, siejančią visas tris bet kurio stačiojo trikampio kraštines.

Kas yra įžambinė?

Stačiajame trikampyje yra vienas 90 laipsnių kampas, susidarantis ten, kur dvi kraštinės susijungia stačiu kampu. Šios dvi kraštinės vadinamos statiniais. Trečioji kraštinė, esanti priešais statųjį kampą, yra įžambinė. Ji visada yra ilgiausia trikampio kraštinė.

Pitagoro teoremos formulė

Pitagoro teorema teigia, kad įžambinės kvadratas lygus dviejų statinių kvadratų sumai.

$c = \sqrt{a^2 + b^2}$

• c yra įžambinė
• a ir b yra du statiniai

Norint rasti nežinomą statinį, o ne įžambinę, formulę galima pertvarkyti:

$a = \sqrt{c^2 - b^2} \qquad\qquad b = \sqrt{c^2 - a^2}$

Teorema pavadinta graikų matematiko Pitagoro, gyvenusio maždaug nuo 570 iki 495 m. pr. Kr., vardu. Šis ryšys buvo žinomas ir anksčiau. Maždaug 1800 m. pr. Kr. datuojamos babiloniečių molio lentelės rodo, kad Babilono matematikai ją jau taikė daugiau kaip tūkstantį metų prieš Pitagorą.

Kaip apskaičiuoti įžambinę

Norėdami rankiniu būdu rasti įžambinę, atlikite keturis veiksmus.

1. Pakelkite kraštinės A ilgį kvadratu (padauginkite jį iš savęs).
2. Pakelkite kraštinės B ilgį kvadratu.
3. Sudėkite abi gautas kvadratines reikšmes.
4. Ištraukite šios sumos kvadratinę šaknį.

Šiame puslapyje esanti skaičiuoklė atlieka tuos pačius keturis veiksmus. Meniu pasirinkite „Rasti įžambinę“, „Rasti kraštinę A“ arba „Rasti kraštinę B“, tada įveskite du žinomus ilgius. Rezultatas atnaujinamas iškart, kai įvedami tinkami skaičiai, ir suapvalinamas iki dviejų skaitmenų po kablelio.

Abiem kraštinėms turi būti naudojamas tas pats matavimo vienetas, pavyzdžiui, coliai arba metrai. Skaičiuoklė neperskaičiuoja vienetų, todėl kartu įvesta reikšmė pėdomis ir reikšmė coliais neduos prasmingo rezultato.

Išspręstas pavyzdys

Stačiajame trikampyje kraštinė A yra 3 pėdos (0,91 m), o kraštinė B – 4 pėdos (1,2 m).

c = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5,00 pėdos (1,52 m)

Šis 3-4-5 santykis yra patogus būdas, kurį staliai naudoja kampo statumui patikrinti. Išmatuokite 3 pėdas (0,91 m) išilgai vieno krašto ir 4 pėdas (1,2 m) išilgai statmeno krašto. Įstrižainės atstumas tarp šių dviejų taškų turi būti lygiai 5 pėdos (1,5 m). Taip pat veikia bet koks šio santykio kartotinis, pavyzdžiui, 6-8-10 arba 30-40-50.

Antrajame pavyzdyje naudojamos dešimtainės reikšmės. Stačiajame trikampyje kraštinė A yra 2,5 colio, o kraštinė B – 6,8 colio (17,3 cm).

c = √(2,5² + 6,8²) = √(6,25 + 46,24) = √52,49 ≈ 7,24 colio (18,4 cm)

Taip matuojami televizorių ir monitorių dydžiai. Nurodomas ekrano dydis yra įstrižainė, t. y. ekrano pločio ir aukščio sudaromo stačiakampio įžambinė.

Nežinomos kraštinės radimas

Jei įžambinė ir vienas statinis jau žinomi, skaičiuoklė gali rasti kitą statinį. Pasirinkite „Rasti kraštinę A“ arba „Rasti kraštinę B“, tada įveskite įžambinę ir žinomą statinį.

Pavyzdžiui, stačiajame trikampyje įžambinė yra 10 metrų, o kraštinė B – 6 metrų.

a = √(10² − 6²) = √(100 − 36) = √64 = 8,00 metrų

Įžambinė visada turi būti ilgesnė už bet kurį statinį, nes ji yra ilgiausia trikampio kraštinė. Jei įžambinei įvesta reikšmė nėra didesnė už žinomą statinį, skaičiuoklė vietoj rezultato rodo klaidą, nes toks statusis trikampis neegzistuoja.

Įprastas taikymas

Pitagoro teorema taikoma visada, kai iš dviejų statmenų matavimų reikia rasti tiesų įstrižainės atstumą.

• Statyba ir staliaus darbai: tikrinama, ar karkaso arba sienos kampas yra status, taip pat skaičiuojami gegnių arba laiptų stygų ilgiai.
• Geodezija: horizontalūs ir vertikalūs atstumai perskaičiuojami į tiesioginį atstumą matymo linija.
• Navigacija ir kompiuterinė grafika: atstumo tarp dviejų grafiko taškų formulė d = √[(x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²] yra ta pati teorema, pritaikyta koordinatėms.
• Švietimas: tai vienas pirmųjų geometrinių įrodymų, su kuriais susiduria dauguma mokinių, ir jį galima patikrinti naudojant paprastus sveikųjų skaičių pavyzdžius, tokius kaip 3-4-5 arba 5-12-13.

Teorema taikoma tik stačiajam trikampiui. Trikampiui be 90 laipsnių kampo taikoma kosinusų teorema.

Dažnai užduodami klausimai

Kokia yra įžambinės formulė? c = √(a² + b²), kur a ir b yra du stačiojo trikampio statiniai, o c – įžambinė.

Ar tai galima taikyti trikampiams be stačiojo kampo? Ne. Pitagoro teorema taikoma tik stačiajam trikampiui. Trikampiui be 90 laipsnių kampo reikia taikyti kosinusų teoremą.

Kas yra 3-4-5 taisyklė? Tai trumpas būdas patikrinti, ar kampas yra status. Jei viena kraštinė yra 3 vienetų ilgio, greta esanti statmena kraštinė – 4 vienetų, o įstrižainė tarp jų galinių taškų – 5 vienetų, kampas yra status. Taip pat veikia bet koks 3-4-5 kartotinis, pavyzdžiui, 6-8-10 arba 30-40-50.

Ar abiem kraštinėms reikia naudoti tą patį matavimo vienetą? Taip. Abu statiniai turi būti įvesti tuo pačiu vienetu, pavyzdžiui, abu pėdomis arba abu metrais. Sumaišius vienetus, pavyzdžiui, pėdas ir colius, gaunamas matematiškai teisingas, bet fiziškai beprasmis rezultatas.

Kodėl kai kuriems įžambinės ir statinio deriniams skaičiuoklė rodo klaidą? Įžambinė visada yra ilgiausia stačiojo trikampio kraštinė. Jei įžambinei įvesta reikšmė nėra didesnė už žinomą statinį, tinkamo stačiojo trikampio nėra, todėl skaičiuoklė vietoj rezultato grąžina klaidą.

Kiek skaitmenų po kablelio rodomas rezultatas? Du. Skaičiuoklė skaičiavimo metu viduje išlaiko visą tikslumą ir suapvalina tik rodomą skaičių.

Ar tai tas pats, kas atstumo formulė? Taip. Koordinačių geometrijoje naudojama atstumo formulė d = √[(x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²] yra Pitagoro teorema, pritaikyta dviem grafiko taškams. Horizontalus ir vertikalus atstumas tarp taškų sudaro du stačiojo trikampio statinius.