Pereiti prie turinio
🛠️
Whiz Tools

Vienetinio apskritimo skaičiuoklė: tikslūs sin, cos ir tg

Įveskite kampą laipsniais arba radianais, kad gautumėte jo tašką vienetiniame apskritime, sinusą, kosinusą, tangentą, atraminį kampą ir koordinatinį ketvirtį. Pateikiamos tikslios standartinių kampų reikšmės.

Unit Circle Calculator

Enter an angle in degrees or radians to get its point on the unit circle, its sine, cosine and tangent, its reference angle and its quadrant. The standard angles are answered exactly.

The angle to place on the circle, in the unit chosen below. Any value is allowed, including a negative one and one past a full turn.

Point on the circle (x, y)
(√3/2, 1/2)

Sine, cosine and tangent

cos θ (the x coordinate)
√3/2
sin θ (the y coordinate)
1/2
tan θ
√3/3
This is one of the sixteen standard angles, so the values are exact rather than rounded. As decimals: cos θ = 0.8660254, sin θ = 0.5, tan θ = 0.57735027.

Where it lands

Quadrant or axis
Quadrant I
Reference angle
30°
Reference angle in radians
π/6rad

The angle

Angle in degrees
30°
Angle in radians
0.52359878rad
Folded into one turn
30°
Folded angle in radians
π/6rad
The unit circle has radius 1 and is centred on the origin. A point on it is (cos θ, sin θ), so the coordinates and the two function values are the same pair of numbers. The tangent is sin θ divided by cos θ, which has no value where cos θ is 0.
Įkrovimo skaičiuotuvas...
📚

Dokumentacija

Vienetinio apskritimo skaičiuoklė

Vienetinis apskritimas yra apskritimas, kurio spindulys yra 1 ir kuris nubrėžtas aplink grafiko pradžios tašką. Vienetinio apskritimo skaičiuoklė priima vieną kampą ir nurodo, kur tas kampas susikerta su apskritimu: tašką (x, y), sinusą, kosinusą ir tangentą, atskaitos kampą bei kvadrantą. Šiame puslapyje kampas įvedamas laipsniais arba radianais, o šešiolikai standartinių kampų pateikiamos tikslios reikšmės, pavyzdžiui, √3/2.

Ką daro skaičiuotuvas

Lankytojas įveda vieną kampą ir pasirenka laipsnius arba radianus. Puslapyje pateikiama:

  • taškas (x, y), kuriame kampas kerta apskritimą
  • cos θ, sin θ ir tan θ
  • atskaitos kampas laipsniais ir radianais
  • kvadrantas arba ašis, jei kampas patenka ant jos
  • kampas abiem vienetais ir tas pats kampas, sutrauktas į vieną apsisukimą

Šešiolikos standartinių kampų reikšmės pateikiamos tiksliomis uždarosiomis formomis, o po jomis rodomi dešimtainiai skaičiai. Bet kuris kitas kampas rodomas aštuonių reikšminių skaitmenų tikslumu. Suapvalinamas tik vaizdas.

Vienetinio apskritimo formulė

Kampai matuojami prieš laikrodžio rodyklę nuo teigiamosios x ašies. Kampu θ nubrėžtas spindulys apskritimą kerta viename taške, o dvi to taško koordinatės yra kosinusas ir sinusas:

(x,y)=(cos⁡θ,sin⁡θ)(x, y) = (\cos\theta, \sin\theta)

čia xx yra horizontalioji koordinatė, yy – vertikalioji koordinatė, o θ\theta – kampas.

Spindulys yra 1, todėl koordinatės ir dvi funkcijų reikšmės yra ta pati skaičių pora, vadinama dviem skirtingais vardais. Todėl apskritimas brėžiamas ne bet kokio, o būtent 1 spindulio. Tangentas sudaromas iš tos pačios poros:

tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}

Kiekvienas apskritimo taškas taip pat tenkina Pitagoro teoremą, pritaikytą stačiajam trikampiui, kurio kraštinės yra xx ir yy, o įžambinė – 1:

cos⁡2θ+sin⁡2θ=1\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1

Laipsniai ir radianai

Puslapyje priimami abu vienetai ir pateikiamos reikšmės abiem iš jų. Juos sieja tai, kad pusė apsisukimo lygi π radianų:

\qquad \theta_{\mathrm{deg}} = \theta_{\mathrm{rad}} \times \frac{180}{\pi}$$ čia $\theta_{\mathrm{deg}}$ yra kampas laipsniais, o $\theta_{\mathrm{rad}}$ yra tas pats kampas radianais. ### Sutraukimas į vieną apsisukimą Kampas gali būti neigiamas ir gali viršyti visą apsisukimą. Taškas apskritime kartojasi kas 360°, todėl puslapis pirmiausia sutraukia kampą į intervalą nuo 0° iki, bet neįskaitant, 360°: $$\theta_0 = ((\theta \bmod 360) + 360) \bmod 360$$ čia $\theta$ yra įvestas kampas laipsniais, o $\theta_0$ – ta pati kryptis, užrašyta vieno apsisukimo ribose. 750° sutraukiamas į 30°, o −30° – į 330°. Sutraukimas atliekamas laipsniais, kuriuose liekana apskaičiuojama tiksliai. ### Atskaitos kampas ir kvadrantas Atskaitos kampas yra smailusis kampas tarp spindulio ir x ašies. Jis niekada nebūna didesnis kaip 90°: $$\theta_{\mathrm{ref}} = \begin{cases} \theta_0 & \text{if } \theta_0 \le 90 \\ 180 - \theta_0 & \text{if } \theta_0 \le 180 \\ \theta_0 - 180 & \text{if } \theta_0 \le 270 \\ 360 - \theta_0 & \text{kitais atvejais} \end{cases}$$ čia $\theta_0$ yra sutrauktas kampas laipsniais. Sinuso, kosinuso ir tangento dydis priklauso tik nuo atskaitos kampo. Kvadrantas nurodo ženklus. | Kvadrantas | Sutrauktas kampas | cos | sin | tan | |---|---|---|---|---| | I | nuo 0° iki 90° | + | + | + | | II | nuo 90° iki 180° | − | + | − | | III | nuo 180° iki 270° | − | − | + | | IV | nuo 270° iki 360° | + | − | − | Kampai 0°, 90°, 180° ir 270° yra ant ašies. Kvadrantas yra atvira sritis tarp dviejų ašių, todėl nė vienas iš šių keturių kampų nepriklauso kvadrantui, o puslapyje vietoj gretimo kvadranto nurodoma ašis. ### Šešiolika standartinių kampų Penki atskaitos kampai turi tikslius uždaruosius pavidalus. | Atskaitos kampas | cos | sin | tan | |---|---|---|---| | 0° (0) | 1 | 0 | 0 | | 30° (π/6) | √3/2 | 1/2 | √3/3 | | 45° (π/4) | √2/2 | √2/2 | 1 | | 60° (π/3) | 1/2 | √3/2 | √3 | | 90° (π/2) | 0 | 1 | neapibrėžta | Atspindėjus šias eilutes kituose trijuose kvadrantuose, gaunami šešiolika kampų: 0, 30, 45, 60, 90, 120, 135, 150, 180, 210, 225, 240, 270, 300, 315 ir 330 laipsnių. Puslapis juos sudaro po ketvirtį apsisukimo sukdamas pirmojo kvadranto taškus, o ne keturis kartus perrašydamas lentelę, nes būtent perrašant gali atsirasti neteisingas ženklas. 15°, 75° ir 105° taip pat turi uždaruosius pavidalus, tačiau jie yra dviejų narių, pavyzdžiui, 2 − √3. Jie nepriklauso šiai šeimai, todėl pateikiami dešimtainiu pavidalu. Kampo 15° cos yra 0,96592583, sin – 0,25881905, o tan – 0,26794919. ### Pavyzdys: 210 laipsnių 210° yra didesnis už 180° ir mažesnis už 270°, todėl patenka į III kvadrantą. Atėmus 180, lieka 30° atskaitos kampas. Kai atskaitos kampas yra 30°, trijų funkcijų dydžiai yra √3/2, 1/2 ir √3/3. III kvadrante abi koordinatės yra neigiamos, todėl taškas yra (−√3/2, −1/2). Tangentas yra neigiamo skaičiaus dalmuo iš neigiamo skaičiaus, todėl lieka teigiamas: √3/3. Radianais kampas yra 7π/6, o atskaitos kampas – π/6. Dešimtainiu pavidalu puslapyje rodomi cos −0,8660254, sin −0,5 ir tan 0,57735027. 570° ir −150° pateikia tas pačias reikšmes, nes abu kampai sutraukiami į 210°. ### Kurios konstantos yra tikslios | Konstanta | Vertė | Tiksli? | Šaltinis | |---|---|---|---| | Laipsniai per vieną apsisukimą | 360 | tiksli pagal apibrėžimą | ISO 80000-3 | | Radianai per vieną apsisukimą | 2π | tiksli pagal apibrėžimą | ISO 80000-3; SI brošiūra | | cos 30°, sin 60° | √3/2 | tikslus | NIST DLMF §4,14 | | cos 45°, sin 45° | √2/2 | tikslus | NIST DLMF §4,14 | | cos 60°, sin 30° | 1/2 | tikslus | NIST DLMF §4,14 | | tan 90°, tan 270° | reikšmės nėra | tikslu, polius | NIST DLMF §4,15 | π yra iracionalusis skaičius, todėl neturi tikslaus dešimtainio ar dvejetainio pavidalo, o bet kuri išsaugota jo reikšmė yra suapvalinta. Puslapis dviem būdais užtikrina, kad šis apvalinimas nepatektų į atsakymus. Sutraukimas atliekamas laipsniais, kuriuose 360 dalijasi be liekanos. O standartiniai kampai imami iš pirmiau pateiktos uždarųjų pavidalų lentelės, niekada nenaudojant slankiojo kablelio sinuso reikšmės. ### Kaip apdorojamas radianais įvestas kampas Radianais įvesta reikšmė jau yra suapvalintas dešimtainis skaičius. π/2 įvedamas kaip 1,5707963267948966, o perskaičiavus atgal gaunamas kampas, nuo 90 nutolęs maždaug viena dešimt trilijonąja laipsnio dalimi, o ne tiksliai lygus 90. Todėl bet kurį kampą, esantį mažesniu nei vienos milijonosios laipsnio atstumu nuo standartinio kampo, puslapis laiko tuo standartiniu kampu. Tolerancija parenka, kuri lentelė naudojama, bet atsakymo nepadidina. 30,001° netampa 30°. Didesni nei milijardo laipsnių kampai atmetami. Tai yra aritmetikos, o ne geometrijos riba: tarp skaičių, kuriuos kompiuteris gali išsaugoti, tarpas didėja jiems didėjant, o viršijus maždaug keturis su puse milijardo laipsnių šis tarpas tampa didesnis už vienos milijonosios laipsnio toleranciją, todėl sutraukiant nebeišsaugoma pakankamai informacijos kampui nustatyti. Milijardas suteikia atsargą iki šios ribos. ### Dažnai užduodami klausimai **Kam naudojamas vienetinis apskritimas?** Jis paverčia sinusą ir kosinusą koordinatėmis. Nuskaičius nuo apskritimo vieną tašką, abi reikšmės gaunamos iš karto, o brėžinys parodo, kodėl jos kartojasi kas visą apsisukimą ir kodėl jų ženklai keičiasi pereinant iš vieno kvadranto į kitą. **Kokia yra tiksli sin 30° reikšmė?** Viena antroji. cos 30° yra √3/2, maždaug 0,8660254, o tan 30° yra √3/3, maždaug 0,57735027. **Kodėl tan 90° yra neapibrėžtas?** Tangentas yra sinuso ir kosinuso dalmuo, o cos 90° yra 0. Dalyba iš nulio neturi apibrėžtos reikšmės. Puslapis polių nustato pagal kampą, o ne tikrindamas, ar apskaičiuotas tangentas yra didelis, nes didelė tangento reikšmė, esanti vos prieš 90°, yra įprastas skaičius. **Kas yra atskaitos kampas?** Tai smailusis kampas tarp spindulio ir x ašies, todėl jis visada yra tarp 0° ir 90°. 150°, 210° ir 330° visi turi 30° atskaitos kampą, todėl jų sinusas ir kosinusas turi tuos pačius tris dydžius ir skiriasi tik ženklu. **Ar veikia neigiamas kampas?** Taip. Neigiamas kampas sukamas pagal laikrodžio rodyklę. −30° rodo ta pačia kryptimi kaip 330°, todėl puslapis pateikia tašką (√3/2, −1/2) ir IV kvadrantą. **Kodėl puslapyje kampas rodomas du kartus?** 750° ir 30° apskritimą kerta tame pačiame taške, tačiau tai nėra tas pats pasukimas. Puslapyje pakartojamas įvestas kampas, jis perskaičiuojamas į kitą vienetą, o greta rodomas sutrauktas kampas.