Калькулятор перевода доверительного интервала в стандартное отклонение

Этот калькулятор преобразует указанный доверительный интервал обратно в стандартную ошибку и стандартное отклонение. Для этого нужны обе границы интервала, размер выборки и уровень доверия. В научных статьях часто указывают среднее значение вместе с доверительным интервалом, но не приводят стандартное отклонение, которое нужно для метаанализа и расчёта статистической мощности.

Что делает калькулятор

Доверительный интервал для среднего обычно строится так:

CI = estimate ± Z × (σ / √n)

Часть после знака ± — это предел погрешности. Он равен критическому значению Z, умноженному на стандартную ошибку. Поскольку интервал симметричен, половина его ширины и есть предел погрешности. Обратив формулу, можно получить стандартную ошибку, а затем и стандартное отклонение.

Формула

width = upper bound − lower bound

SE = width ÷ (2 × Z)

σ = SE × √n

SE — это стандартная ошибка среднего. σ — стандартное отклонение. Z — двустороннее критическое значение стандартного нормального распределения для заданного уровня доверия.

Критические значения

Для любого другого уровня Z — это значение, которое оставляет половину оставшейся вероятности в каждом хвосте распределения. Калькулятор вычисляет его для любого введённого уровня.

Пример

В исследовании указана средняя разница −2.6 при 95%-ном доверительном интервале от −5.2 до −0.01, на основе 78 участников.

1. Ширина = −0.01 − (−5.2) = 5.19
2. Z для 95%-ного доверия = 1.96
3. SE = 5.19 ÷ (2 × 1.96) = 1.324
4. σ = 1.324 × √78 = 1.324 × 8.832 = 11.69

Стандартное отклонение составляет около 11.69.

Когда этот метод приближённый

Формула предполагает, что интервал симметричен относительно оценки и построен на основе нормального распределения. Это предположение нарушается в двух случаях.

В малых выборках часто используют не нормальное распределение, а распределение Стьюдента (t-распределение). Критическое значение t больше, поэтому использование Z немного занижает стандартное отклонение. Разница уменьшается по мере роста выборки и становится небольшой при примерно 30 наблюдениях и более.

Интервалы для отношений, таких как отношение шансов или отношение рисков, симметричны в логарифмическом масштабе, а не в исходном. Такие границы нужно сначала преобразовать с помощью логарифмов, прежде чем применять эту формулу.

Если точечная оценка не находится в середине интервала, калькулятор помечает интервал как асимметричный, и результат следует считать приближённой оценкой.

Часто задаваемые вопросы

В чём разница между стандартной ошибкой и стандартным отклонением?

Стандартное отклонение показывает, насколько разбросаны отдельные значения. Стандартная ошибка показывает, насколько точно известно среднее значение. Они связаны формулой SE = σ / √n, поэтому стандартная ошибка уменьшается с ростом выборки, а стандартное отклонение — нет.

Почему делить на 2Z, а не на Z?

Полная ширина охватывает обе стороны от оценки. Предел погрешности составляет половину ширины, поэтому половина ширины делится на Z, что равносильно делению полной ширины на 2Z.

Можно ли использовать это с интервалом, построенным на t-распределении?

Да, но нужно заменить Z на критическое значение t для n − 1 степеней свободы. Использование Z для малой выборки даёт немного заниженное стандартное отклонение.

Что делать, если указан только предел погрешности?

Удвойте его, чтобы получить ширину, а затем выполните те же шаги.

Влияет ли точечная оценка на результат?

Нет. В формулу входят только ширина, уровень доверия и размер выборки. Оценка используется лишь для проверки симметричности интервала.