Graf trigonometrických funkcií - Vizualizácia Sin, Cos, Tan
Interaktívny grafický nástroj trigonometrických funkcií. Nastavte amplitúdu, frekvenciu a fázový posun v reálnom čase pre okamžitú vizualizáciu sínusových, kosínusových a tangens vĺn.
Graf Trigonometrických Funkcií
Parametre Funkcie
Graf Funkcie
Dokumentácia
Čo je grafický znázorňovač goniometrických funkcií?
Grafický znázorňovač goniometrických funkcií je nástroj, ktorý vykresľuje krivku sínusovej, kosínusovej alebo tangensovej funkcie a umožňuje používateľovi meniť jej tvar úpravou niekoľkých čísel nazývaných parametre. Posunutím posúvača sa graf okamžite prekreslí, takže je ľahšie sledovať, ako sa mení amplitúda, frekvencia a fázový posun vlny.
Tri základné goniometrické funkcie
Sínus, kosínus a tangens vychádzajú z pomerov strán pravouhlého trojuholníka. Na kružnici s polomerom 1 so stredom v počiatku (jednotková kružnica) je sin(x) výška bodu pri uhle x a cos(x) je vodorovná poloha tohto bodu. Tangens je pomer sin(x) / cos(x).
| Funkcia | Definičný obor | Obor hodnôt | Perióda |
|---|---|---|---|
| sin(x) | všetky reálne čísla | od −1 do 1 | 2π |
| cos(x) | všetky reálne čísla | od −1 do 1 | 2π |
| tan(x) | všetky reálne čísla okrem π/2 + nπ | všetky reálne čísla | π |
Sínus je nepárna funkcia: sin(−x) = −sin(x). Kosínus je párna funkcia: cos(−x) = cos(x). Kosínus je jednoducho sínus posunutý doľava o π/2 radiánov (90 stupňov).
Tangens má vertikálne asymptoty: priamky, ku ktorým sa krivka stále viac približuje, ale nikdy sa ich nedotkne. Nachádzajú sa pri x = π/2 + nπ, kde n je ľubovoľné celé číslo. Keďže tan(x) = sin(x) / cos(x) a cos(x) sa v týchto bodoch rovná 0, pomer tam nie je definovaný.
Vzorec goniometrickej funkcie
Znázorňovač vykresľuje funkcie v tomto tvare:
f(x) = A sin(Bx + C)
Rovnaký tvar sa používa aj pre kosínus a tangens, pričom sin sa nahradí výrazom cos alebo tan. Každé písmeno je parameter, ktorý možno upravovať:
- A (amplitúda) určuje výšku vlny meranú od stredovej čiary po vrchol. Znázorňovač umožňuje hodnoty od 0,1 do 5 pre sínus a kosínus a od 0,1 do 2 pre tangens.
- B (frekvencia) určuje, koľko úplných cyklov sa zmestí do určitého úseku osi x. Väčšie B vlnu stláča. Znázorňovač umožňuje hodnoty od 0,1 do 5.
- C (fázový posun) posúva celú krivku doľava alebo doprava bez zmeny jej tvaru. Znázorňovač umožňuje hodnoty od −π do π, približne od −3,14 do 3,14.
Kladný fázový posun posúva graf doľava, záporný doprava.
Ako používať grafický znázorňovač goniometrických funkcií
- Vo voliči vyberte funkciu — sínus, kosínus alebo tangens.
- Posunutím posúvača amplitúdy zmeňte výšku vlny.
- Posunutím posúvača frekvencie vlnu stlačte alebo roztiahnite.
- Posunutím posúvača fázového posunu posuňte krivku do strán.
- Prečítajte si vzorec zobrazený pod posúvačmi a stlačením tlačidla „Copy“ ho skopírujte ako text.
Graf sa aktualizuje hneď po posunutí posúvača. Pri tangense sa na každej asymptote objavia v čiare malé medzery. Je to očakávané správanie, nie chyba.
Skúšanie krajných hodnôt posúvačov
Ak chcete zistiť, aká vysoká môže byť vlna, nastavte amplitúdu na najvyššiu hodnotu, ktorú nástroj umožňuje: 5 pre sínus alebo kosínus a 2 pre tangens. Ak chcete vlnu takmer úplne sploštiť, nastavte frekvenciu na najnižšiu hodnotu, 0,1. Keď meníte vždy iba jeden posúvač, ľahšie zistíte, ktorý parameter spôsobil danú zmenu.
Ako vypočítať hodnotu ručne
Uvažujme sínusovú funkciu s amplitúdou A = 2, frekvenciou B = 3 a fázovým posunom C = π/4:
f(x) = 2 sin(3x + π/4)
Ak chceme nájsť f(π/6), najprv vypočítame uhol vo vnútri sínusu:
3 × (π/6) = π/2
π/2 + π/4 = 3π/4
Potom vypočítame sínus a vynásobíme ho amplitúdou:
f(π/6) = 2 × sin(3π/4) = 2 × (√2/2) ≈ 1,414
Kde sa goniometrické vlny vyskytujú
Mnohé javy, ktoré sa opakujú plynulým pohybom tam a späť, sledujú krivku podobnú sínusovej vlne: zvuk, striedavý elektrický prúd, príliv a odliv, kývanie kyvadla a dĺžka denného svetla počas roka. Inžinieri používajú sínus a kosínus na opis a predpovedanie podobných priebehov. Počítačoví animátori používajú rovnaké krivky na plynulé zobrazovanie pohybu, napríklad pri cykle chôdze alebo plynulom pohybe kamery.
Často kladené otázky
Aký je rozdiel medzi sínusom, kosínusom a tangensom?
Sínus a kosínus nadobúdajú hodnoty od −1 do 1 a majú periódu 2π, ale kosínus dosiahne každý bod svojho cyklu o štvrtinu otáčky (π/2) skôr než sínus. Tangens sa rovná sínusu delenému kosínusom. Má periódu π, nie je ohraničený a má vertikálne asymptoty všade tam, kde sa kosínus rovná 0.
Čo určuje amplitúda?
Amplitúda (A) určuje, ako ďaleko sa vlna rozprestiera nad a pod svojou stredovou čiarou. V tomto znázorňovači má pre sínus a kosínus rozsah od 0,1 do 5 a pre tangens od 0,1 do 2.
Čo určuje frekvencia?
Frekvencia (B) určuje, koľko cyklov vlny sa objaví na pevne určenom úseku osi x. Vyššia frekvencia zhustí do rovnakého priestoru viac cyklov. Znázorňovač umožňuje hodnoty od 0,1 do 5.
Prečo kladný fázový posun posúva graf doľava, a nie doprava?
Pretože fázový posun C sa pripočítava pred meraním uhla, vo vnútri funkcie: f(x) = sin(Bx + C). Kladné C znamená, že daná hodnota uhla sa dosiahne pri menšom x, takže rovnaký bod na krivke sa objaví skôr — posunie sa doľava, nie doprava.
Prečo sú v grafe tangensu medzery?
Tangens nie je definovaný všade tam, kde sa kosínus rovná 0, čo nastáva pri x = π/2 + nπ. Znázorňovač v týchto bodoch čiaru preruší namiesto toho, aby cez medzeru nakreslil nepravdivé priame spojenie.
Používa znázorňovač stupne alebo radiány?
Radiány. Jedna úplná otáčka sa rovná 2π radiánov, čo je to isté ako 360 stupňov. Ak chcete previesť stupne na radiány, vynásobte ich číslom π/180.