Kalkulačka kruhu: Nájdite polomer, priemer, plochu a obvod

Kalkulačka kruhu

Kalkulačka kruhu vypočíta polomer, priemer, obvod a obsah kruhu z ktorejkoľvek z týchto štyroch hodnôt. Zadajte jednu známu hodnotu a kalkulačka pomocou štandardných geometrických vzorcov vypočíta zvyšné tri.

Kruh je množina všetkých bodov v rovine, ktoré ležia v rovnakej vzdialenosti od stredového bodu. Táto pevná vzdialenosť je polomer. Priemer, obvod a obsah vyplývajú iba z polomeru.

Ako používať kalkulačku

1. Vyberte známu veličinu: polomer, priemer, obvod alebo obsah.
2. Zadajte jej číselnú hodnotu. Hodnota musí byť nula alebo väčšia; záporné dĺžky a obsahy nemajú fyzikálny význam.
3. Kalkulačka zobrazí polomer, priemer, obvod a obsah, pričom každú hodnotu zaokrúhli na dve desatinné miesta.

Kalkulačka tiež nakreslí kruh. Kresba je schematická, nie v mierke, takže malý aj obrovský kruh vyzerajú približne rovnako veľké.

Zadanie nuly je povolené a pre všetky štyri veličiny vráti nulu, pretože kruh s polomerom nula je jediný bod. Nečíselné zadania vyvolajú chybu overenia namiesto výsledku.

Vzorce pre kruh

Označme r ako polomer a d ako priemer. Konštanta π (pí) je približne 3,14159; je to pomer obvodu kruhu k jeho priemeru.

Priemer z polomeru:

$d = 2r$

Obvod:

$C = 2\pi r = \pi d$

Obsah:

$A = \pi r^2 = \frac{\pi d^2}{4}$

Polomer z obvodu:

$r = \frac{C}{2\pi}$

Polomer z obsahu:

$r = \sqrt{\frac{A}{\pi}}$

Z jednej ľubovoľnej hodnoty možno zvyšné tri vypočítať tak, že sa najprv vyrieši polomer a potom sa použijú vyššie uvedené vzorce pre priemer, obvod a obsah.

Ako vypočítať veličiny kruhu z jednotlivých počiatočných hodnôt

Začiatok s polomerom (r):

• Priemer: $d = 2r$
• Obvod: $C = 2\pi r$
• Obsah: $A = \pi r^2$

Začiatok s priemerom (d):

• Polomer: $r = \frac{d}{2}$
• Obvod: $C = \pi d$
• Obsah: $A = \frac{\pi d^2}{4}$

Začiatok s obvodom (C):

• Polomer: $r = \frac{C}{2\pi}$
• Priemer: $d = \frac{C}{\pi}$
• Obsah: $A = \pi r^2$

Začiatok s obsahom (A):

• Polomer: $r = \sqrt{\frac{A}{\pi}}$
• Priemer: $d = 2r$
• Obvod: $C = 2\pi r$

Vyriešený príklad

Kruh má polomer 5 jednotiek.

• Priemer: d = 2 × 5 = 10 jednotiek.
• Obvod: C = 2π × 5 ≈ 31,42 jednotiek.
• Obsah: A = π × 5² ≈ 78,54 štvorcových jednotiek.

Ten istý kruh možno opísať obvodom približne 31,42 jednotiek. Vydelením 31,42 číslom 2π sa po zaokrúhlení získa 5,00 jednotiek, takže sa vrátime k polomeru a priemer a obsah vyplynú ako predtým. Ktorákoľvek zo štyroch hodnôt určuje zvyšné tri.

Vzorce pre kruh v geometrii

Číslo π je iracionálne, čo znamená, že jeho desatinné číslice sa nikdy nekončia ani neopakujú. Starovekí matematici ho približovali: Babylončania a Egypťania používali hrubé zlomky a Archimedes zo Syrakúz okolo 250 pred n. l. ukázal pomocou polygónov nakreslených vo vnútri kruhu aj okolo neho, že π leží medzi 223/71 a 22/7. Symbol π spopularizoval v 18. storočí matematik Leonhard Euler. Moderné kalkulačky používajú π na oveľa viac desatinných miest, než vyžaduje akékoľvek fyzikálne meranie.

Vzorce pre kruh sa používajú pri určovaní rozmerov potrubí, ozubených kolies a kolies, pri výpočte množstva materiálu potrebného na kruhovú konštrukciu a pri modelovaní obežných dráh v astronómii.

Najčastejšie otázky

Ako sa vypočíta obvod kruhu? Vynásobte polomer číslom 2π alebo priemer číslom π: C = 2πr = πd. Kruh s polomerom 5 jednotiek má obvod približne 31,42 jednotiek.

Aký je vzorec pre obsah kruhu? Obsah sa rovná číslu π vynásobenému druhou mocninou polomeru: A = πr². Kruh s polomerom 5 jednotiek má obsah približne 78,54 štvorcových jednotiek.

Ako nájdem polomer z obvodu? Vydelte obvod číslom 2π (približne 6,2832). Obvod 31,42 jednotiek zodpovedá polomeru približne 5 jednotiek.

Ako nájdem polomer z obsahu? Vydelte obsah číslom π a potom odmocnite: r = √(A / π). Obsah 78,54 štvorcových jednotiek zodpovedá polomeru približne 5 jednotiek.

Aký je vzťah medzi priemerom a polomerom? Priemer je vždy dvojnásobkom polomeru (d = 2r) a polomer je vždy polovicou priemeru (r = d / 2).

Možno pri meraní kruhu použiť ľubovoľnú jednotku? Áno. Polomer, priemer a obvod používajú rovnakú jednotku dĺžky, napríklad centimetre alebo palce, a obsah sa vyjadruje v tejto jednotke na druhú. Kalkulačka neprevádza jednotky; výsledky používajú jednotku, ktorá bola zadaná.

Referencie

1. "Circle." Wolfram MathWorld. https://mathworld.wolfram.com/Circle.html
2. "Circumference and Area of a Circle." Khan Academy. https://www.khanacademy.org/math/basic-geo/basic-geo-circles
3. Beckmann, Petr. A History of π. St. Martin's Press, 1971.
4. Archimedes. Measurement of a Circle. https://www.math.ubc.ca/~vjungic/students/Archimedes-Measurement%20of%20a%20Circle.pdf