เครื่องคำนวณจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์

จำนวนเฉพาะสัมพัทธ์คือจำนวนเต็มตั้งแต่สองจำนวนขึ้นไปที่มีตัวหารร่วมบวกเพียงตัวเดียวคือ 1 เครื่องคำนวณนี้ตรวจสอบว่าจำนวนที่คุณป้อนเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กันหรือไม่ โดยหาตัวหารร่วมมาก (ห.ร.ม.) ของจำนวนเหล่านั้น ถ้า ห.ร.ม. เท่ากับ 1 จำนวนเหล่านั้นเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กัน

จำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ยังเรียกอีกอย่างว่าจำนวนเฉพาะร่วมหรือจำนวนเฉพาะซึ่งกันและกัน

จำนวนเฉพาะสัมพัทธ์คืออะไร

จำนวนเต็มสองจำนวนจะเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กันเมื่อไม่มีจำนวนเต็มใดที่มากกว่า 1 หารทั้งสองจำนวนลงตัว จำนวนเหล่านั้นไม่จำเป็นต้องเป็นจำนวนเฉพาะเอง ตัวอย่างเช่น 8 และ 15 เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กัน เพราะตัวประกอบของ 8 คือ 1, 2, 4 และ 8 ส่วนตัวประกอบของ 15 คือ 1, 3, 5 และ 15 ตัวประกอบร่วมเพียงตัวเดียวของทั้งสองคือ 1 จึงเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กัน

ในทางกลับกัน 12 และ 18 ไม่ใช่จำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กัน เพราะทั้งสองจำนวนหารด้วย 2, 3 และ 6 ลงตัว ดังนั้นตัวหารร่วมมากของทั้งสองคือ 6

วิธีตรวจสอบว่าจำนวนเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กันหรือไม่

1. หาตัวหารร่วมมาก (ห.ร.ม.) ของจำนวนทั้งหมด ห.ร.ม. คือจำนวนเต็มที่มากที่สุดที่หารจำนวนทุกตัวลงตัวโดยไม่มีเศษ
2. เปรียบเทียบ ห.ร.ม. กับ 1 ถ้า ห.ร.ม. เท่ากับ 1 จำนวนเหล่านั้นเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กัน ถ้า ห.ร.ม. มากกว่า 1 จำนวนเหล่านั้นไม่ใช่จำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กัน

ห.ร.ม. ของกลุ่มจำนวนหาได้โดยใช้ขั้นตอนวิธีแบบยุคลิดกับจำนวนสองตัวทีละคู่: ห.ร.ม. ของจำนวนสามตัว a, b และ c คือ ห.ร.ม.(ห.ร.ม.(a, b), c)

สูตรจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์

จำนวน a₁, a₂, …, aₙ เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กันเมื่อ

GCD(a₁, a₂, …, aₙ) = 1

ตัวอย่าง

ตรวจสอบว่า 6, 10 และ 15 เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กันหรือไม่

• GCD(6, 10) = 2
• GCD(2, 15) = 1

ตัวหารร่วมมากของทั้งสามจำนวนคือ 1 ดังนั้น 6, 10 และ 15 จึงเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กันในฐานะกลุ่ม

โปรดสังเกตว่าทั้งสามจำนวนนี้ไม่ใช่จำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กันแบบคู่ 6 และ 10 มีตัวประกอบร่วมคือ 2 ส่วน 6 และ 15 มีตัวประกอบร่วมคือ 3 และ 10 กับ 15 มีตัวประกอบร่วมคือ 5 การเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์แบบกลุ่ม (ห.ร.ม. ของจำนวนทั้งหมดรวมกันเท่ากับ 1) เป็นเงื่อนไขที่อ่อนกว่าการเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์แบบคู่ (ห.ร.ม. ของทุกคู่เท่ากับ 1) เครื่องคำนวณนี้แสดงผลทั้งสองแบบ

จำนวนเฉพาะสัมพัทธ์แบบคู่กับแบบกลุ่ม

กลุ่มจำนวนจะเป็น จำนวนเฉพาะสัมพัทธ์แบบกลุ่ม เมื่อ ห.ร.ม. ของกลุ่มทั้งหมดเท่ากับ 1 และจะเป็น จำนวนเฉพาะสัมพัทธ์แบบคู่ เมื่อทุกคู่ที่เป็นไปได้ในกลุ่มมี ห.ร.ม. เท่ากับ 1 จำนวนที่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์แบบคู่จะเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์แบบกลุ่มเสมอ แต่ในทางกลับกันไม่จำเป็นต้องเป็นจริงเสมอไป ดังตัวอย่างข้างต้น

คำถามที่พบบ่อย

1 เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับจำนวนใด ๆ หรือไม่

ใช่ จำนวน 1 ไม่มีตัวประกอบร่วมที่มากกว่า 1 กับจำนวนเต็มใด ๆ ดังนั้น 1 จึงเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับจำนวนเต็มทุกจำนวน รวมถึงตัวมันเองด้วย

จำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ต้องเป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่

ไม่จำเป็น จำนวนเฉพาะสัมพัทธ์อาจเป็นจำนวนประกอบก็ได้ 8 และ 15 ต่างก็เป็นจำนวนประกอบ แต่ทั้งสองเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กันเพราะไม่มีตัวประกอบร่วมอื่นนอกจาก 1

จำนวนเฉพาะสองจำนวนที่ต่างกันเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กันเสมอหรือไม่

ใช่ จำนวนเฉพาะสองจำนวนที่ต่างกันไม่มีตัวประกอบร่วมนอกจาก 1 ดังนั้นจำนวนเฉพาะที่ต่างกันสองจำนวนใด ๆ จึงเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กัน

จำนวนลบเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กันได้หรือไม่

โดยทั่วไปการเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์นิยามไว้สำหรับจำนวนเต็มบวก เครื่องคำนวณนี้รับเฉพาะจำนวนเต็มบวกตั้งแต่ 1 ขึ้นไป

ห.ร.ม. กับจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ต่างกันอย่างไร

ห.ร.ม. คือจำนวนที่มากที่สุดที่หารจำนวนที่ป้อนทั้งหมดลงตัว "จำนวนเฉพาะสัมพัทธ์" คือกรณีเฉพาะที่ ห.ร.ม. นั้นเท่ากับ 1 พอดี