เครื่องคำนวณความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก - เครื่องมือทฤษฎีบทพีทาโกรัส

เครื่องคำนวณด้านตรงข้ามมุมฉาก

เครื่องคำนวณด้านตรงข้ามมุมฉากใช้หาความยาวของด้านที่ยาวที่สุดในสามเหลี่ยมมุมฉาก ซึ่งเรียกว่าด้านตรงข้ามมุมฉาก โดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ซึ่งเป็นกฎที่เชื่อมโยงด้านทั้งสามของสามเหลี่ยมมุมฉากใด ๆ

ด้านตรงข้ามมุมฉากคืออะไร?

สามเหลี่ยมมุมฉากมีมุมหนึ่งมุมเป็น 90 องศา เกิดจากด้านสองด้านมาบรรจบกันเป็นมุมฉาก ด้านสองด้านนั้นเรียกว่าด้านประกอบมุมฉาก ส่วนด้านที่สามซึ่งอยู่ตรงข้ามมุมฉากคือด้านตรงข้ามมุมฉาก และเป็นด้านที่ยาวที่สุดของสามเหลี่ยมเสมอ

สูตรทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสระบุว่า กำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลบวกของกำลังสองของด้านประกอบมุมฉากทั้งสองด้าน

$c = \sqrt{a^2 + b^2}$

• c คือด้านตรงข้ามมุมฉาก
• a และ b คือด้านประกอบมุมฉากทั้งสองด้าน

หากต้องการหาด้านประกอบมุมฉากที่ไม่ทราบค่าแทนด้านตรงข้ามมุมฉาก สามารถจัดรูปสูตรใหม่ได้ดังนี้:

$a = \sqrt{c^2 - b^2} \qquad\qquad b = \sqrt{c^2 - a^2}$

ทฤษฎีบทนี้ตั้งชื่อตามพีทาโกรัส นักคณิตศาสตร์ชาวกรีก ซึ่งมีชีวิตอยู่ราว 570 ถึง 495 ปีก่อนคริสตกาล อย่างไรก็ตาม ความสัมพันธ์นี้เป็นที่รู้จักมาก่อนหน้านั้น แผ่นดินเหนียวของชาวบาบิโลนที่มีอายุราว 1800 ปีก่อนคริสตกาลแสดงให้เห็นว่า นักคณิตศาสตร์ชาวบาบิโลนใช้ความสัมพันธ์นี้อยู่แล้ว ก่อนพีทาโกรัสมากกว่าหนึ่งพันปี

วิธีคำนวณด้านตรงข้ามมุมฉาก

หากต้องการหาด้านตรงข้ามมุมฉากด้วยตนเอง ให้ทำตามสี่ขั้นตอน

1. ยกกำลังสองความยาวของด้าน A (คูณด้วยตัวมันเอง)
2. ยกกำลังสองความยาวของด้าน B
3. นำค่าที่ยกกำลังสองทั้งสองค่ามาบวกกัน
4. หารากที่สองของผลบวกนั้น

เครื่องคำนวณในหน้านี้ทำงานตามสี่ขั้นตอนเดียวกัน เลือก "หาด้านตรงข้ามมุมฉาก" "หาด้าน A" หรือ "หาด้าน B" จากเมนู แล้วป้อนความยาวที่ทราบสองค่า ผลลัพธ์จะอัปเดตทันทีเมื่อป้อนตัวเลขที่ถูกต้อง และปัดเศษเป็นทศนิยมสองตำแหน่ง

ด้านทั้งสองต้องใช้หน่วยวัดเดียวกัน เช่น นิ้วหรือเมตร เครื่องคำนวณไม่แปลงหน่วย ดังนั้นการป้อนค่าหนึ่งเป็นฟุตและอีกค่าเป็นนิ้วพร้อมกันจะไม่ให้ผลลัพธ์ที่มีความหมาย

ตัวอย่างการคำนวณ

สามเหลี่ยมมุมฉากมีด้าน A ยาว 3 ฟุต (0.91 ม.) และด้าน B ยาว 4 ฟุต (1.2 ม.)

c = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5.00 ฟุต (1.52 ม.)

รูปแบบ 3-4-5 นี้เป็นวิธีลัดที่ช่างไม้ใช้ตรวจสอบว่ามุมเป็นมุมฉากหรือไม่ วัดตามขอบด้านหนึ่งเป็นระยะ 3 ฟุต (0.91 ม.) และวัดตามขอบที่ตั้งฉากกันเป็นระยะ 4 ฟุต (1.2 ม.) ระยะทแยงระหว่างจุดสองจุดนั้นควรยาวเท่ากับ 5 ฟุต (1.5 ม.) พอดี รูปแบบที่เป็นพหุคูณใด ๆ ก็ใช้ได้เช่นเดียวกัน เช่น 6-8-10 หรือ 30-40-50

ตัวอย่างที่สองใช้ค่าทศนิยม สามเหลี่ยมมุมฉากมีด้าน A ยาว 2.5 นิ้ว (6.35 ซม.) และด้าน B ยาว 6.8 นิ้ว (17.3 ซม.)

c = √(2.5² + 6.8²) = √(6.25 + 46.24) = √52.49 ≈ 7.24 นิ้ว (18.4 ซม.)

ขนาดโทรทัศน์และจอภาพวัดด้วยวิธีนี้ ขนาดหน้าจอที่ระบุคือความยาวแนวทแยง ซึ่งเป็นด้านตรงข้ามมุมฉากของสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่เกิดจากความกว้างและความสูงของหน้าจอ

การหาด้านที่ไม่ทราบค่า

หากทราบด้านตรงข้ามมุมฉากและด้านประกอบมุมฉากด้านหนึ่งแล้ว เครื่องคำนวณสามารถหาด้านประกอบมุมฉากอีกด้านได้ เลือก "หาด้าน A" หรือ "หาด้าน B" แล้วป้อนค่าด้านตรงข้ามมุมฉากและด้านประกอบมุมฉากที่ทราบ

ตัวอย่างเช่น สามเหลี่ยมมุมฉากมีด้านตรงข้ามมุมฉากยาว 10 เมตร และด้าน B ยาว 6 เมตร

a = √(10² − 6²) = √(100 − 36) = √64 = 8.00 เมตร

ด้านตรงข้ามมุมฉากต้องยาวกว่าด้านประกอบมุมฉากแต่ละด้านเสมอ เนื่องจากเป็นด้านที่ยาวที่สุดของสามเหลี่ยม หากค่าด้านตรงข้ามมุมฉากที่ป้อนไม่มากกว่าด้านประกอบมุมฉากที่ทราบ เครื่องคำนวณจะแสดงข้อผิดพลาดแทนผลลัพธ์ เพราะไม่มีสามเหลี่ยมมุมฉากดังกล่าว

การใช้งานทั่วไป

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสใช้เมื่อจำเป็นต้องหาระยะทางแนวทแยงเส้นตรงจากการวัดระยะสองค่าที่ตั้งฉากกัน

• งานก่อสร้างและงานช่างไม้: ตรวจสอบว่ามุมของโครงหรือผนังเป็นมุมฉาก และคำนวณความยาวของจันทันหรือแม่บันได
• การสำรวจรังวัด: แปลงระยะทางแนวนอนและแนวตั้งเป็นระยะทางตรงตามแนวสายตา
• การนำทางและคอมพิวเตอร์กราฟิก: สูตรหาระยะห่างระหว่างจุดสองจุดบนกราฟ d = √[(x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²] คือทฤษฎีบทเดียวกันที่นำมาใช้กับพิกัด
• การศึกษา: เป็นหนึ่งในการพิสูจน์ทางเรขาคณิตเรื่องแรก ๆ ที่นักเรียนส่วนใหญ่ได้เรียน และสามารถตรวจสอบได้ด้วยตัวอย่างจำนวนเต็มอย่างง่าย เช่น 3-4-5 หรือ 5-12-13

ทฤษฎีบทนี้ใช้ได้เฉพาะกับสามเหลี่ยมมุมฉากเท่านั้น สำหรับสามเหลี่ยมที่ไม่มีมุม 90 องศา ให้ใช้กฎของโคไซน์แทน

คำถามที่พบบ่อย

สูตรสำหรับด้านตรงข้ามมุมฉากคืออะไร c = √(a² + b²) โดย a และ b คือด้านประกอบมุมฉากทั้งสองด้านของสามเหลี่ยมมุมฉาก และ c คือด้านตรงข้ามมุมฉาก

สามารถใช้สูตรนี้กับสามเหลี่ยมที่ไม่มีมุมฉากได้หรือไม่ ไม่ได้ ทฤษฎีบทพีทาโกรัสใช้ได้เฉพาะกับสามเหลี่ยมมุมฉากเท่านั้น สามเหลี่ยมที่ไม่มีมุม 90 องศาต้องใช้กฎของโคไซน์แทน

กฎ 3-4-5 คืออะไร เป็นวิธีลัดสำหรับตรวจสอบมุมฉาก หากด้านหนึ่งยาว 3 หน่วย ด้านที่อยู่ติดกันและตั้งฉากยาว 4 หน่วย และเส้นทแยงระหว่างปลายด้านทั้งสองยาว 5 หน่วย มุมนั้นจะเป็นมุมฉาก รูปแบบที่เป็นพหุคูณของ 3-4-5 ใด ๆ เช่น 6-8-10 หรือ 30-40-50 ก็ใช้ได้เช่นเดียวกัน

ด้านทั้งสองต้องใช้หน่วยวัดเดียวกันหรือไม่ ใช่ ด้านประกอบมุมฉากทั้งสองด้านต้องป้อนด้วยหน่วยเดียวกัน เช่น ใช้ฟุตทั้งคู่หรือใช้เมตรทั้งคู่ การผสมหน่วย เช่น ฟุตกับนิ้ว ให้ผลลัพธ์ที่ถูกต้องทางคณิตศาสตร์ แต่ไม่มีความหมายทางกายภาพ

เหตุใดเครื่องคำนวณจึงแสดงข้อผิดพลาดสำหรับค่าด้านตรงข้ามมุมฉากและด้านประกอบมุมฉากบางชุด ด้านตรงข้ามมุมฉากเป็นด้านที่ยาวที่สุดของสามเหลี่ยมมุมฉากเสมอ หากค่าด้านตรงข้ามมุมฉากที่ป้อนไม่มากกว่าด้านประกอบมุมฉากที่ทราบ จะไม่มีสามเหลี่ยมมุมฉากที่ถูกต้อง เครื่องคำนวณจึงแสดงข้อผิดพลาดแทนผลลัพธ์

ผลลัพธ์แสดงทศนิยมกี่ตำแหน่ง สองตำแหน่ง เครื่องคำนวณจะเก็บค่าความแม่นยำเต็มไว้ภายในระหว่างการคำนวณ และปัดเศษเฉพาะตัวเลขที่แสดง

นี่เป็นสูตรเดียวกับสูตรหาระยะห่างหรือไม่ ใช่ สูตรหาระยะห่างในเรขาคณิตวิเคราะห์ d = √[(x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²] คือทฤษฎีบทพีทาโกรัสที่นำมาใช้กับจุดสองจุดบนกราฟ ระยะห่างในแนวนอนและแนวตั้งระหว่างจุดทั้งสองเป็นด้านประกอบมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉาก