เครื่องคำนวณตกอิสระ - เครื่องคำนวณความเร็ว ระยะทาง และเวลา

เครื่องคำนวณการตกอย่างอิสระ: ความเร็ว ระยะทาง และเวลา

เครื่องคำนวณการตกอย่างอิสระใช้หาความเร็วของวัตถุที่ตกภายใต้แรงโน้มถ่วง ระยะที่วัตถุเคลื่อนที่ไป และความสูงที่วัตถุยังอยู่เหนือพื้นดิน ป้อนความสูงเริ่มต้น ความเร็วเริ่มต้น และเวลาที่ผ่านไป แล้วเครื่องจะแสดงความเร็วสุดท้าย การกระจัดลงด้านล่าง และความสูงสุดท้าย

การตกอย่างอิสระคืออะไร?

การตกอย่างอิสระคือการเคลื่อนที่ที่เกิดจากแรงโน้มถ่วงเพียงอย่างเดียว โดยไม่คำนึงถึงแรงต้านอากาศ ใกล้พื้นผิวโลก วัตถุที่ตกทุกชนิดจะมีความเร็วเพิ่มขึ้นในอัตราเดียวกัน ไม่ว่ามวลของวัตถุนั้นจะเท่าใด เหรียญและค้อนที่ปล่อยพร้อมกันจะกระทบพื้นในเวลาเดียวกัน ตราบใดที่แรงต้านอากาศมีน้อยจนละเลยได้

กาลิเลโอ กาลิเลอีแสดงเรื่องนี้ด้วยการทดลองในช่วงต้นคริสต์ทศวรรษ 1600 ซึ่งหักล้างแนวคิดเดิมที่ว่าวัตถุหนักตกเร็วกว่า ในปี 1971 เดวิด สก็อตต์ นักบินอวกาศของอะพอลโล 15 ปล่อยค้อนกับขนนกบนดวงจันทร์ ซึ่งไม่มีอากาศทำให้ขนนกช้าลง ทั้งสองสิ่งตกถึงพื้นพร้อมกัน โดยมีกล้องบันทึกไว้

อัตราเร่งดังกล่าวเรียกว่า ความเร่งโน้มถ่วงมาตรฐาน เขียนแทนด้วย g ค่าที่กำหนดไว้คือ 9.80665 เมตรต่อวินาทียกกำลังสอง (m/s²) โดยกำหนดขึ้นตามข้อตกลงระหว่างประเทศในปี 1901 ในหน่วยอิมพีเรียล ความเร่งเดียวกันนี้มีค่า 32.17405 ฟุต (9.81 ม.) ต่อวินาทียกกำลังสอง (ft/s²) ตัวเลขนี้ได้จาก 9.80665 หารด้วย 0.3048 ซึ่งเป็นจำนวนเมตรที่แน่นอนในหนึ่งฟุต แล้วปัดเศษเป็นทศนิยมห้าตำแหน่ง ตัวอย่างในตำราหลายแห่งปัดค่าระบบเมตริกเป็น 9.81 ม./s² เพื่อให้คำนวณได้ง่ายขึ้น

สูตรการตกอย่างอิสระ

สมการสามสมการครอบคลุมปัญหาการตกอย่างอิสระทุกกรณี โดยถือให้ทิศลงด้านล่างเป็นทิศบวก ดังนั้นความเร็วที่เป็นบวกจึงชี้ไปทางพื้น และความเร็วที่เป็นลบชี้ขึ้นด้านบน

สูตรความเร็ว

$v = v_0 + gt$

• $v$ = ความเร็วสุดท้าย
• $v_0$ = ความเร็วเริ่มต้น (0 หากปล่อยจากหยุดนิ่ง; เป็นค่าลบหากขว้างขึ้นด้านบน)
• $g$ = ความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วง 9.80665 ม./s² หรือ 32.17405 ฟุต/s² ในเครื่องคำนวณนี้
• $t$ = เวลาที่ผ่านไป มีหน่วยเป็นวินาที

สูตรระยะทาง

$d = v_0t + \frac{1}{2}gt^2$

ในที่นี้ $d$ คือการกระจัด หรือระยะที่วัตถุเคลื่อนที่ลงด้านล่าง สำหรับวัตถุที่ปล่อยจากหยุดนิ่ง ($v_0 = 0$) สมการจะย่อลงเป็น $d = \frac{1}{2}gt^2$ หากวัตถุถูกขว้างขึ้นด้านบนและยังอยู่เหนือจุดปล่อย ค่า $d$ จะเป็นลบ

สูตรความเร็ว–ระยะทาง

เมื่อไม่ทราบเวลา สมการนี้จะเชื่อมโยงความเร็วกับระยะทางโดยตรง:

$v^2 = v_0^2 + 2gd$

สำหรับวัตถุที่ปล่อยจากหยุดนิ่ง สมการนี้ย่อลงเป็น $v = \sqrt{2gd}$ สูตรนี้ใช้หาความเร็วขณะกระทบจากความสูงที่ปล่อยซึ่งทราบค่า หรือหาความสูงที่ปล่อยจากความเร็วขณะกระทบซึ่งทราบค่า

วิธีคำนวณการตกอย่างอิสระด้วยเครื่องคำนวณนี้

เครื่องคำนวณรับการตั้งค่าสี่รายการและแสดงผลลัพธ์สามรายการ

1. เลือกระบบหน่วย ระบบเมตริกใช้เมตรและเมตรต่อวินาที ระบบอิมพีเรียลใช้ฟุตและฟุตต่อวินาที
2. ป้อนความสูงเริ่มต้น ซึ่งเป็นความสูงที่วัตถุเริ่มต้นเหนือพื้นดิน ค่านี้ต้องไม่เป็นลบ
3. ป้อนความเร็วเริ่มต้น ใช้ค่า 0 สำหรับวัตถุที่ปล่อยจากหยุดนิ่ง ใช้ค่าบวกสำหรับวัตถุที่ขว้างลงด้านล่าง หรือใช้ค่าลบสำหรับวัตถุที่ขว้างขึ้นด้านบน
4. ป้อนเวลาที่ผ่านไป นับตั้งแต่ปล่อยวัตถุ เวลานี้ต้องมากกว่าศูนย์

ผลลัพธ์คือ ความเร็วสุดท้าย การกระจัด และ ความสูงสุดท้าย (ความสูงเริ่มต้นลบด้วยการกระจัด) ในที่นี้เวลาเป็นข้อมูลนำเข้า ไม่ใช่ผลลัพธ์ เครื่องคำนวณไม่ได้คำนวณย้อนกลับจากความเร็วหรือระยะทางเป้าหมาย

หากเวลาที่ป้อนนานพอจนวัตถุน่าจะกระทบพื้นแล้ว เครื่องคำนวณจะแจ้งว่าวัตถุนั้นกระทบพื้นแล้ว แทนที่จะแสดงความสูงสุดท้ายเป็นค่าลบ

ตัวอย่าง: การตั้งค่าเริ่มต้น

วัตถุถูกปล่อยจากหยุดนิ่งที่ความสูง 100 เมตร หลังจาก 3 วินาที วัตถุอยู่ที่ใด?

ความเร็วหลังจาก 3 วินาที:

$v = 0 + 9.80665 \times 3 = 29.41995 \approx 29.42 \text{ m/s}$

การกระจัดในช่วง 3 วินาทีนั้น:

$d = \frac{1}{2} \times 9.80665 \times 3^2 = 44.129925 \approx 44.13 \text{ m}$

ความสูงสุดท้าย:

$100 - 44.129925 = 55.870075 \approx 55.87 \text{ m}$

ดังนั้นวัตถุกำลังตกด้วยความเร็วประมาณ 29.42 m/s ตกลงมาแล้วประมาณ 44.13 ม. และยังอยู่สูงจากพื้นประมาณ 55.87 ม.

ตัวอย่าง: เวลาและความเร็วจากความสูงที่ทราบ

ประแจตกจากนั่งร้านสูง 20 เมตร ใช้เวลานานเท่าใดจึงจะถึงพื้น และขณะกระทบพื้นจะเคลื่อนที่เร็วเพียงใด?

ใช้ $d = \frac{1}{2}gt^2$ โดยมี $d = 20$ m และ $g = 9.81$ m/s²:

$t = \sqrt{\frac{2 \times 20}{9.81}} \approx 2.02 \text{ วินาที}$

$v = gt = 9.81 \times 2.02 \approx 19.8 \text{ m/s (ประมาณ 71 km/h)}$

ตัวอย่าง: ความสูงจากความเร็วขณะกระทบ

วัตถุกระทบพื้นด้วยความเร็ว 25 m/s หลังจากถูกปล่อยจากหยุดนิ่ง วัตถุตกลงมาจากความสูงเท่าใด?

ใช้ $v^2 = 2gd$:

$d = \frac{v^2}{2g} = \frac{25^2}{2 \times 9.81} = \frac{625}{19.62} \approx 31.9 \text{ เมตร}$

นั่นคือประมาณความสูงของอาคารสิบชั้น

การเปลี่ยนแปลงของแรงโน้มถ่วง

ความโน้มถ่วงมาตรฐาน 9.80665 ม./s² เป็นค่าอ้างอิงเฉลี่ย แรงโน้มถ่วงจริงแตกต่างกันเล็กน้อยทั่วพื้นผิวโลก โดยอ่อนกว่าเมื่ออยู่ที่เส้นศูนย์สูตร (ประมาณ 9.78 ม./s²) มากกว่าที่ขั้วโลก (ประมาณ 9.83 ม./s²) เนื่องจากโลกป่องออกบริเวณเส้นศูนย์สูตรและหมุนเร็วที่สุดที่บริเวณนั้น แรงโน้มถ่วงยังอ่อนลงเล็กน้อยตามระดับความสูง โดยที่ 10,000 เมตร จะลดลงเหลือประมาณ 9.78 ม./s²

วัตถุท้องฟ้าอื่นมีแรงโน้มถ่วงแตกต่างกันมาก ดังนั้นสูตรเดียวกันจึงให้ผลลัพธ์แตกต่างกันมาก:

แรงโน้มถ่วงของดวงจันทร์มีค่าประมาณหนึ่งในหกของโลก ดังนั้นวัตถุที่ปล่อยบนดวงจันทร์จึงเคลื่อนที่ได้ระยะทางประมาณหนึ่งในหกของระยะทางบนโลกในเวลาเท่ากัน

การตกอย่างอิสระและแรงต้านอากาศ

สูตรเหล่านี้สมมติให้เป็นสุญญากาศ ซึ่งไม่มีอากาศดันต้านวัตถุ แรงต้านอากาศจริงเพิ่มขึ้นตามกำลังสองของความเร็ว จึงมีผลมากขึ้นเมื่อความเร็วสูงขึ้น แรงต้านมีผลเพียงเล็กน้อยต่อวัตถุหนาแน่นและมีขนาดกะทัดรัด เช่น ประแจหรือก้อนหินที่ตกจากระยะไม่มาก แต่มีผลมากต่อวัตถุเบาหรือมีพื้นที่กว้าง เช่น ขนนก แผ่นกระดาษ หรือร่มชูชีพ

เมื่อแรงต้านอากาศเพิ่มขึ้นจนมีค่าเท่ากับแรงดึงของแรงโน้มถ่วง วัตถุจะหยุดเร่งและตกด้วยความเร็วคงที่ ซึ่งเรียกว่าอัตราเร็วปลาย นักกระโดดร่มในท่าคว่ำหน้าลงโดยทั่วไปจะมีความเร็วปลายใกล้เคียง 53 เมตรต่อวินาที หรือประมาณ 190 km/h หรือ 120 ไมล์ต่อชั่วโมง ก่อนกางร่มชูชีพ

คำถามที่พบบ่อย

การตกอย่างอิสระในฟิสิกส์คืออะไร?

การตกอย่างอิสระคือการเคลื่อนที่ของวัตถุที่มีเพียงแรงโน้มถ่วงกระทำ โดยไม่คำนึงถึงแรงต้านอากาศ วัตถุทุกชนิดที่ตกใกล้พื้นผิวโลกจะเร่งลงด้านล่างในอัตราเดียวกัน ประมาณ 9.81 ม./s² ไม่ว่ามวลของวัตถุนั้นจะเท่าใด

เหตุใดวัตถุทุกชนิดจึงตกด้วยอัตราเดียวกัน?

แรงโน้มถ่วงดึงวัตถุที่หนักกว่าแรงกว่า แต่ในขณะเดียวกันวัตถุที่หนักกว่าก็ต้านการเปลี่ยนแปลงการเคลื่อนที่ได้มากกว่า เพราะมีความเฉื่อยมากกว่า ผลทั้งสองประการนี้หักล้างกันพอดี ดังนั้นมวลจึงไม่ส่งผลต่ออัตราการเร่งในการตกอย่างอิสระ

สูตรความเร็วของการตกอย่างอิสระคืออะไร?

$v = v_0 + gt$ โดยที่ $v_0$ คือความเร็วเริ่มต้น $g$ คือความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วง และ $t$ คือเวลา สำหรับวัตถุที่ปล่อยจากหยุดนิ่ง สูตรนี้จะเป็นเพียง $v = gt$

สูตรระยะทางของการตกอย่างอิสระคืออะไร?

$d = v_0t + \frac{1}{2}gt^2$ สำหรับวัตถุที่ปล่อยจากหยุดนิ่ง สมการนี้ย่อลงเป็น $d = \frac{1}{2}gt^2$

เหตุใดการกระจัดจึงเป็นลบบางครั้ง?

เครื่องคำนวณนี้กำหนดให้ทิศลงด้านล่างเป็นค่าบวก การกระจัดที่เป็นลบหมายความว่าวัตถุอยู่เหนือจุดที่ปล่อย ซึ่งเกิดขึ้นเมื่อวัตถุถูกขว้างขึ้นด้านบนและยังตกกลับลงมาไม่ถึง ปาลูกบอลขึ้นด้วยความเร็ว 10 m/s แล้วตรวจสอบหลังจาก 1 วินาที: $d = -10 \times 1 + \frac{1}{2} \times 9.80665 \times 1^2 = -5.10$ m ดังนั้นลูกบอลจึงอยู่สูงกว่าจุดเริ่มต้น 5.10 ม.

วัตถุต้องใช้เวลานานเท่าใดจึงจะตกจากความสูงที่กำหนด?

การแก้สมการระยะทางเพื่อหาเวลาให้ $t = \sqrt{2d/g}$ สำหรับวัตถุที่ปล่อยจากหยุดนิ่ง การตกจากความสูง 20 เมตร ใช้เวลาประมาณ 2.02 วินาที

เหตุใดเครื่องคำนวณนี้จึงใช้ 9.80665 ม./s² แทน 9.8?

9.80665 ม./s² คือค่าความโน้มถ่วงมาตรฐานที่กำหนดในระดับนานาชาติอย่างแน่นอน และรับรองในปี 1901 การปัดเศษเป็น 9.8 หรือ 9.81 เป็นเรื่องปกติในตำราและมีความแม่นยำเพียงพอสำหรับวัตถุประสงค์ส่วนใหญ่ เครื่องคำนวณใช้ค่าที่กำหนดไว้นี้เพื่อให้ผลลัพธ์ในระบบเมตริกและอิมพีเรียลอธิบายการตกทางกายภาพเดียวกัน ซึ่งจะไม่เป็นจริงสำหรับค่าที่ปัดเศษแล้ว 9.8 ม./s² และ 32.2 ฟุต/s²

เครื่องคำนวณนี้คำนึงถึงแรงต้านอากาศหรือไม่?

ไม่ เครื่องคำนวณสมมติให้เป็นการตกอย่างอิสระในสุญญากาศตามอุดมคติ จึงให้ผลลัพธ์แม่นยำสำหรับวัตถุหนาแน่นและมีขนาดกะทัดรัดที่ตกจากระยะปานกลาง แต่จะประเมินความเร็วและระยะทางสูงเกินไปสำหรับวัตถุเบาหรือมีพื้นที่กว้าง หรือการตกจากที่สูงมากซึ่งแรงต้านอากาศมีนัยสำคัญ