Перейти до вмісту
🛠️
Whiz Tools

Калькулятор одиничного кола: точні значення sin, cos, tan

Введіть кут у градусах або радіанах, щоб отримати його точку на одиничному колі, синус, косинус, тангенс, опорний кут і квадрант. Точні значення стандартних кутів.

Unit Circle Calculator

Enter an angle in degrees or radians to get its point on the unit circle, its sine, cosine and tangent, its reference angle and its quadrant. The standard angles are answered exactly.

The angle to place on the circle, in the unit chosen below. Any value is allowed, including a negative one and one past a full turn.

Point on the circle (x, y)
(√3/2, 1/2)

Sine, cosine and tangent

cos θ (the x coordinate)
√3/2
sin θ (the y coordinate)
1/2
tan θ
√3/3
This is one of the sixteen standard angles, so the values are exact rather than rounded. As decimals: cos θ = 0.8660254, sin θ = 0.5, tan θ = 0.57735027.

Where it lands

Quadrant or axis
Quadrant I
Reference angle
30°
Reference angle in radians
π/6rad

The angle

Angle in degrees
30°
Angle in radians
0.52359878rad
Folded into one turn
30°
Folded angle in radians
π/6rad
The unit circle has radius 1 and is centred on the origin. A point on it is (cos θ, sin θ), so the coordinates and the two function values are the same pair of numbers. The tangent is sin θ divided by cos θ, which has no value where cos θ is 0.
Калькулятор завантаження...
📚

Документація

Калькулятор одиничного кола

Одиничне коло — це коло радіусом 1, накреслене навколо початку координат графіка. Калькулятор одиничного кола приймає один кут і показує, де його промінь перетинає коло: координати точки (x, y), синус, косинус і тангенс, опорний кут та квадрант. Ця сторінка сприймає кут у градусах або радіанах і надає точні значення, як-от √3/2, для шістнадцяти стандартних кутів.

Що робить калькулятор

Користувач вводить один кут і вибирає градуси або радіани. Сторінка повертає:

  • точку (x, y), у якій кут перетинає коло
  • cos θ, sin θ і tan θ
  • кут відліку в градусах і радіанах
  • квадрант або вісь, якщо кут потрапляє на неї
  • кут в обох одиницях, а також той самий кут, зведений до одного повного оберту

Для шістнадцяти стандартних кутів відповіді подаються як точні замкнені форми, а під ними показуються десяткові значення. Будь-який інший кут відображається з вісьмома значущими цифрами. Округлюється лише відображення.

Формула одиничного кола

Кути вимірюють проти годинникової стрілки від додатної півосі x. Промінь, проведений під кутом θ, перетинає коло в одній точці, а дві координати цієї точки є косинусом і синусом:

(x,y)=(cos⁡θ,sin⁡θ)(x, y) = (\cos\theta, \sin\theta)

де xx — горизонтальна координата, yy — вертикальна координата, а θ\theta — кут.

Радіус дорівнює 1, тому координати й два значення функцій є тією самою парою чисел, названою двома способами. Саме тому коло накреслено з радіусом 1, а не будь-якого іншого розміру. Тангенс утворюється з тієї самої пари:

tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}

Кожна точка кола також задовольняє теорему Піфагора, застосовану до прямокутного трикутника зі сторонами xx і yy та гіпотенузою 1:

cos⁡2θ+sin⁡2θ=1\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1

Градуси та радіани

Сторінка приймає будь-яку з двох одиниць і повідомляє результат в обох. Вони пов’язані тим, що півоберту відповідає π радіанів:

\qquad \theta_{\mathrm{deg}} = \theta_{\mathrm{rad}} \times \frac{180}{\pi}$$ де $\theta_{\mathrm{deg}}$ — кут у градусах, а $\theta_{\mathrm{rad}}$ — той самий кут у радіанах. ### Зведення до одного оберту Кут може бути від’ємним і може перевищувати повний оберт. Точка на колі повторюється кожні 360°, тому сторінка спочатку зводить кут до діапазону від 0° до, але не включно з, 360°: $$\theta_0 = ((\theta \bmod 360) + 360) \bmod 360$$ де $\theta$ — введений кут у градусах, а $\theta_0$ — той самий напрямок, записаний у межах одного оберту. 750° зводиться до 30°, а −30° — до 330°. Зведення виконується в градусах, де остача є точною. ### Опорний кут і квадрант Кут відліку — це гострий кут між променем і віссю x. Він ніколи не перевищує 90°: $$\theta_{\mathrm{ref}} = \begin{cases} \theta_0 & \text{if } \theta_0 \le 90 \\ 180 - \theta_0 & \text{if } \theta_0 \le 180 \\ \theta_0 - 180 & \text{if } \theta_0 \le 270 \\ 360 - \theta_0 & \text{в іншому разі} \end{cases}$$ де $\theta_0$ — зведений кут у градусах. Величина синуса, косинуса й тангенса залежить лише від кута відліку. Квадрант визначає знаки. | Квадрант | Зведений кут | cos | sin | tan | |---|---|---|---|---| | I | від 0° до 90° | + | + | + | | II | від 90° до 180° | − | + | − | | III | від 180° до 270° | − | − | + | | IV | від 270° до 360° | + | − | − | Кути 0°, 90°, 180° і 270° лежать на осі. Квадрант — це відкрита область між двома осями, тому жоден із цих чотирьох кутів не належить квадранту, і сторінка називає вісь, а не вибирає сусідній квадрант. ### Шістнадцять стандартних кутів П’ять опорних кутів мають точні вирази. | Опорний кут | cos | sin | tan | |---|---|---|---| | 0° (0) | 1 | 0 | 0 | | 30° (π/6) | √3/2 | 1/2 | √3/3 | | 45° (π/4) | √2/2 | √2/2 | 1 | | 60° (π/3) | 1/2 | √3/2 | √3 | | 90° (π/2) | 0 | 1 | не визначено | Відображення цих рядків в інших трьох квадрантах дає шістнадцять кутів: 0, 30, 45, 60, 90, 120, 135, 150, 180, 210, 225, 240, 270, 300, 315 і 330 градусів. Сторінка створює їх, щоразу повертаючи точки першого квадранта на чверть оберту, а не переписуючи таблицю чотири рази, оскільки саме під час переписування найчастіше з’являється неправильний знак. Кути 15°, 75° і 105° також мають замкнені форми, але це двочленні форми, як-от 2 − √3. Вони не належать до цієї сукупності, тому подаються як десяткові значення. Для 15° маємо cos 0,96592583, sin 0,25881905 і tan 0,26794919. ### Приклад: 210 градусів 210° більше за 180° і менше за 270°, тому кут лежить у квадранті III. Якщо відняти 180, залишиться опорний кут 30°. Для опорного кута 30° три величини дорівнюють √3/2, 1/2 і √3/3. Квадрант III робить обидві координати від’ємними, тому точка має координати (−√3/2, −1/2). Тангенс є від’ємним, поділеним на від’ємне, тому залишається додатним і дорівнює √3/3. У радіанах кут дорівнює 7π/6, а кут відліку — π/6. У десятковому вигляді сторінка показує cos −0,8660254, sin −0,5 і tan 0,57735027. 570° і −150° дають однакові відповіді, оскільки обидва зводяться до 210°. ### Які сталі є точними | Стала | Значення | Точна? | Джерело | |---|---|---|---| | Градуси в одному оберті | 360 | точне за визначенням | ISO 80000-3 | | Радіани в одному оберті | 2π | точне за визначенням | ISO 80000-3; брошура SI | | cos 30°, sin 60° | √3/2 | точне значення | NIST DLMF §4,14 | | cos 45°, sin 45° | √2/2 | точне значення | NIST DLMF §4,14 | | cos 60°, sin 30° | 1/2 | точне значення | NIST DLMF §4,14 | | tan 90°, tan 270° | значення немає | точне значення, полюс | NIST DLMF §4,15 | π є ірраціональним числом, тому не має точної десяткової або двійкової форми, а будь-яке збережене його значення є округленим. Сторінка не допускає цього округлення у відповідях двома способами. Зведення виконується в градусах, де 360 ділиться без остачі. А стандартні кути беруться з наведеної вище таблиці замкнених форм, а не з синуса, обчисленого у форматі з плаваючою комою. ### Введення кута в радіанах Значення в радіанах уже є округленим десятковим числом. π/2 вводять як 1,5707963267948966, і після зворотного перетворення отримують кут приблизно на одну десятимільярдну частину градуса від 90, а не рівно 90. Тому сторінка розпізнає будь-який кут, що відрізняється від стандартного менш ніж на мільйонну частину градуса, як цей стандартний кут. Допуск визначає, яку таблицю використати, але ніколи не розширює відповідь. 30,001° не перетворюється на 30°. Кути понад мільярд градусів відхиляються. Це обмеження арифметики, а не геометрії: проміжок між числами, які може зберігати комп’ютер, збільшується разом із їхньою величиною, і після приблизно чотирьох із половиною мільярдів градусів цей проміжок стає ширшим за допуск в одну мільйонну частину градуса, тому зведення вже не зберігає достатньо деталей, щоб визначити кут. Значення в мільярд градусів залишає запас до цієї межі. ### Поширені запитання **Для чого використовують одиничне коло?** Воно перетворює синус і косинус на координати. Зчитування однієї точки з кола одразу дає обидва значення, а рисунок показує, чому вони повторюються після кожного повного оберту і чому їхні знаки змінюються від одного квадранта до іншого. **Яке точне значення sin 30°?** Одна друга. cos 30° дорівнює √3/2, приблизно 0,8660254, а tan 30° дорівнює √3/3, приблизно 0,57735027. **Чому tan 90° не визначений?** Тангенс — це синус, поділений на косинус, а cos 90° дорівнює 0. Ділити на нуль неможливо. Сторінка визначає полюс за назвою кута, а не перевіряє, чи вийшов обчислений тангенс великим, оскільки крутий тангенс безпосередньо перед 90° є звичайним числом. **Що таке опорний кут?** Це гострий кут між променем і віссю x, тому він завжди лежить між 0° і 90°. Для 150°, 210° і 330° опорний кут дорівнює 30°, тому їхні синус і косинус мають однакові три величини й відрізняються лише знаком. **Чи працює від’ємний кут?** Так. Від’ємний кут обертається за годинниковою стрілкою. −30° вказує в тому самому напрямку, що й 330°, тому сторінка повертає точку (√3/2, −1/2) і квадрант IV. **Чому сторінка показує кут двічі?** 750° і 30° перетинають коло в одній і тій самій точці, але це не один і той самий поворот. Сторінка повторює введений кут, перетворює його в іншу одиницю та показує поруч зведений кут.