حاسبة: تحويل فترة الثقة إلى الانحراف المعياري

تحوّل هذه الحاسبة فاصل ثقة مُبلّغًا عنه إلى خطأ معياري وانحراف معياري. وهي تحتاج إلى حدي الفاصل، وحجم العينة، ومستوى الثقة. غالبًا ما تبلّغ الأوراق العلمية عن متوسط مع فاصل الثقة الخاص به، لكنها تغفل الانحراف المعياري الذي تحتاج إليه التحليلات التجميعية وحسابات القدرة الإحصائية.

ما الذي يفعله الحاسِب

يُبنى فاصل الثقة لمتوسط عادةً على النحو الآتي:

$CI = m \pm Z \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

حيث يشير CI إلى فاصل الثقة، وm إلى التقدير المُبلّغ عنه، وZ إلى القيمة الحرجة، وσ إلى الانحراف المعياري، وn إلى حجم العينة.

الجزء الواقع بعد علامة ± هو هامش الخطأ. ويساوي القيمة الحرجة Z مضروبةً في الخطأ المعياري. وبما أن الفاصل متماثل، فإن نصف عرضه هو هامش الخطأ. ويؤدي عكس الصيغة إلى استعادة الخطأ المعياري، ثم الانحراف المعياري.

الصيغة

$w = u - l$

$SE = \frac{w}{2 \times Z}$

$\sigma = SE \times \sqrt{n}$

هنا، يشير w إلى عرض الفاصل، وu إلى الحد الأعلى، وl إلى الحد الأدنى. وSE هو الخطأ المعياري للمتوسط. وσ هو الانحراف المعياري. وZ هي القيمة الحرجة الثنائية الجانب للتوزيع الطبيعي المعياري عند مستوى الثقة المحدد.

القيم الحرجة

عند أي مستوى آخر، تكون Z هي القيمة التي تترك نصف الاحتمال المتبقي في كل ذيل. وتحسبها الحاسبة لأي مستوى مُدخل.

مثال محلول

أبلغت دراسة عن فرق متوسط قدره −2.6 مع فاصل ثقة بنسبة 95% يتراوح من −5.2 إلى −0.01، استنادًا إلى 78 مشاركًا.

1. العرض = −0.01 − (−5.2) = 5.19
2. قيمة Z للثقة البالغة 95% = 1.96
3. SE = 5.19 ÷ (2 × 1.96) = 1.324
4. σ = 1.324 × √78 = 1.324 × 8.832 = 11.69

يبلغ الانحراف المعياري نحو 11.69.

متى تكون هذه الطريقة تقريبية؟

تفترض الصيغة أن الفاصل متماثل حول التقدير وأنه بُني من التوزيع الطبيعي. وهناك حالتان تنتهكان هذا الافتراض.

تستخدم العينات الصغيرة غالبًا توزيع t بدلًا من التوزيع الطبيعي. وتكون قيمة t الحرجة أكبر، ولذلك يؤدي استخدام Z إلى التقليل قليلًا من تقدير الانحراف المعياري. وتضيق الفجوة كلما كبرت العينة، وتصبح صغيرة عند أكثر من نحو 30 مشاهدة.

تكون الفواصل الخاصة بالنسب، مثل نسب الأرجحية أو نسب المخاطر، متماثلة على المقياس اللوغاريتمي لا على المقياس الأصلي. ويجب تحويل هذين الحدين باستخدام اللوغاريتمات قبل تطبيق هذه الصيغة.

إذا لم يكن التقدير النقطي عند منتصف الفاصل، فستشير الحاسبة إلى أن الفاصل غير متماثل، وينبغي التعامل مع النتيجة باعتبارها تقديرًا.

الأسئلة الشائعة

ما الفرق بين الخطأ المعياري والانحراف المعياري؟

يصف الانحراف المعياري مدى تشتت القيم الفردية. أما الخطأ المعياري فيصف مدى دقة معرفة المتوسط. ويرتبطان بالعلاقة SE = σ / √n، ولذلك يتناقص الخطأ المعياري كلما كبرت العينة، بينما لا يتناقص الانحراف المعياري.

لماذا القسمة على 2Z بدلًا من Z؟

يغطي العرض الكامل جانبي التقدير. ويبلغ هامش خطأ واحد نصف العرض، ولذلك يُقسَم نصف العرض على Z، وهو ما يعادل قسمة العرض الكامل على 2Z.

هل يمكن استخدام ذلك مع فاصل قائم على توزيع t؟

نعم، لكن استبدل Z بالقيمة الحرجة لتوزيع t عند n − 1 من درجات الحرية. ويؤدي استخدام Z مع عينة صغيرة إلى انحراف معياري منخفض قليلًا.

ماذا لو أُبلغ عن هامش الخطأ فقط؟

ضاعفه للحصول على العرض، ثم اتبع الخطوات نفسها.

هل يغيّر التقدير النقطي النتيجة؟

لا. لا تدخل في الصيغة إلا قيمة العرض، ومستوى الثقة، وحجم العينة. ويُستخدم التقدير للتحقق من تماثل الفاصل.