حاسبة: تحويل فترة الثقة إلى الانحراف المعياري

تحوّل هذه الحاسبة فترة ثقة معلنة إلى خطأ معياري وانحراف معياري. وهي تحتاج إلى حدّي الفترة، وحجم العينة، ومستوى الثقة. كثيرًا ما تذكر الأبحاث المتوسط الحسابي مع فترة ثقته، لكنها تغفل الانحراف المعياري الذي يحتاجه التحليل التجميعي وحسابات القوة الإحصائية.

ما الذي تحسبه الحاسبة

تُبنى فترة الثقة للمتوسط عادةً على النحو التالي:

CI = estimate ± Z × (σ / √n)

الجزء الذي يلي إشارة ± هو هامش الخطأ. وهو يساوي القيمة الحرجة Z مضروبة في الخطأ المعياري. ولأن الفترة متماثلة، فإن نصف عرضها يساوي هامش الخطأ. وبعكس الصيغة، يمكن استخراج الخطأ المعياري ثم الانحراف المعياري.

الصيغة

width = upper bound − lower bound

SE = width ÷ (2 × Z)

σ = SE × √n

SE هو الخطأ المعياري للمتوسط. σ هو الانحراف المعياري. Z هي القيمة الحرجة ثنائية الطرف للتوزيع الطبيعي المعياري عند مستوى الثقة المحدد.

القيم الحرجة

بالنسبة لأي مستوى آخر، تكون Z هي القيمة التي تترك نصف الاحتمال المتبقي في كل طرف. تحسب الحاسبة هذه القيمة لأي مستوى يُدخل.

مثال

أفادت دراسة بفارق متوسط قدره −2.6 مع فترة ثقة 95% تمتد من −5.2 إلى −0.01، استنادًا إلى 78 مشاركًا.

1. العرض = −0.01 − (−5.2) = 5.19
2. Z لمستوى ثقة 95% = 1.96
3. SE = 5.19 ÷ (2 × 1.96) = 1.324
4. σ = 1.324 × √78 = 1.324 × 8.832 = 11.69

الانحراف المعياري يساوي تقريبًا 11.69.

متى تكون هذه الطريقة تقريبية

تفترض الصيغة أن الفترة متماثلة حول التقدير وأنها بُنيت اعتمادًا على التوزيع الطبيعي. وهناك حالتان تخالفان هذا الافتراض.

كثيرًا ما تستخدم العينات الصغيرة توزيع t بدلًا من التوزيع الطبيعي. والقيمة الحرجة لتوزيع t أكبر، لذا فإن استخدام Z يقلّل تقدير الانحراف المعياري قليلًا. وتتقلص هذه الفجوة مع ازدياد حجم العينة، وتصبح صغيرة عند نحو 30 مشاهدة فأكثر.

أما فترات النسب، مثل نسبة الأرجحية (odds ratio) أو نسبة المخاطر (hazard ratio)، فهي متماثلة على المقياس اللوغاريتمي، لا على المقياس الأصلي. ويجب تحويل حدودها باستخدام اللوغاريتمات قبل تطبيق هذه الصيغة.

فإذا لم يقع التقدير النقطي في منتصف الفترة، تصنّف الحاسبة الفترة على أنها غير متماثلة، وينبغي اعتبار النتيجة تقديرًا تقريبيًا.

أسئلة شائعة

ما الفرق بين الخطأ المعياري والانحراف المعياري؟

يصف الانحراف المعياري مدى تشتت القيم الفردية. ويصف الخطأ المعياري مدى دقة معرفة المتوسط. ويرتبط الاثنان بالعلاقة SE = σ / √n، لذا يتقلص الخطأ المعياري مع ازدياد حجم العينة، بينما يبقى الانحراف المعياري ثابتًا.

لماذا تُقسم القيمة على 2Z بدلًا من Z؟

يغطي العرض الكامل جانبي التقدير معًا. وهامش الخطأ الواحد يساوي نصف العرض، لذا يُقسم نصف العرض على Z، وهو ما يعادل قسمة العرض الكامل على 2Z.

هل يمكن استخدام هذه الطريقة مع فترة قائمة على توزيع t؟

نعم، لكن يجب استبدال Z بالقيمة الحرجة لتوزيع t عند n − 1 من درجات الحرية. واستخدام Z مع عينة صغيرة يعطي انحرافًا معياريًا منخفضًا قليلًا.

ماذا لو أُبلغ عن هامش الخطأ فقط؟

يُضاعف للحصول على العرض، ثم تُتّبع الخطوات نفسها.

هل يغيّر التقدير النقطي النتيجة؟

لا. يدخل في الصيغة العرض ومستوى الثقة وحجم العينة فقط. ويُستخدم التقدير فقط للتحقق من كون الفترة متماثلة.