Rechner für potenzielle Energie: PE = mgh
Berechnen Sie die potenzielle Energie im Schwerefeld aus Masse, Erdbeschleunigung und Höhe oder bestimmen Sie eine dieser Größen aus den übrigen drei. Kilogramm, Pfund, Meter, Fuß.
Potential Energy Calculator
Gravitational potential energy is the energy a body has because of how high it sits. Fill in three of the four fields, leave the fourth blank, and the blank one is worked out.
Dokumentation
Rechner für potenzielle Energie
Die potenzielle Energie im Schwerefeld ist die Energie, die ein Körper aufgrund seiner Höhe über einer gewählten Bezugsebene besitzt. Dieser Rechner ermittelt sie aus der Masse eines Körpers, der Stärke des Schwerefelds am jeweiligen Ort und seiner Höhe. Er funktioniert auch umgekehrt: Sind die Energie und zwei der drei anderen Werte gegeben, liefert er den vierten.
Was der Rechner berechnet
Die Seite enthält vier Felder: potenzielle Energie in Joule, Masse, Erdbeschleunigung und Höhe. Für Masse und Höhe gibt es jeweils ein Einheitenmenü. Drei Felder werden ausgefüllt, eines bleibt leer; das leere Feld enthält die Antwort. Anschließend werden alle vier Werte zusammen angezeigt, sodass die drei eingegebenen Werte neben dem Ergebnis überprüft werden können.
Die Masse kann in Kilogramm, Gramm, Milligramm, metrischen Tonnen, Pfund, Unzen, Stone, US-amerikanischen Short Tons oder Long Tons eingegeben werden. Die Höhe kann in Metern, Kilometern, Zentimetern, Millimetern, Mikrometern, Nanometern, Meilen, Yards, Fuß, Zoll oder Seemeilen eingegeben werden. Für die Energie gibt es kein Einheitenmenü: Sie wird in Joule eingegeben und angezeigt. Auch für die Schwerebeschleunigung gibt es kein Einheitenmenü. Sie wird in Metern pro Sekunde zum Quadrat angegeben; ein Wert in Fuß pro Sekunde zum Quadrat muss daher vor der Eingabe umgerechnet werden.
Vor jeder Berechnung werden Masse durch das gemeinsame Einheitenverzeichnis der Website in Kilogramm und Höhe in Meter umgerechnet. Ein Ergebnis wird wieder in die für das jeweilige Feld gewählte Einheit umgerechnet. Die Ergebnisse werden mit acht signifikanten Stellen angezeigt. Nur die Anzeige wird gerundet; die Berechnung erfolgt mit den eingegebenen Werten. Ein Ergebnis kleiner als 0,0001 oder ab 1.000.000.000 wird in wissenschaftlicher Schreibweise angezeigt.
Jedes Feld, einschließlich der Schwerebeschleunigung, ist anfangs leer. Die Adresszeile bleibt mit den Feldern synchron, und ein leeres Feld kann nicht in einen Link geschrieben werden. Ein geteilter Link enthält daher genau die drei ausgefüllten Werte und lässt das vierte Feld für den nächsten Leser leer.
Die Formel für die potenzielle Energie
Dabei ist die potenzielle Energie in Joule (J), die Masse in Kilogramm (kg), die Stärke des Schwerefelds in Metern pro Sekunde zum Quadrat (m/s²) und die Höhe in Metern (m).
Durch Umstellen derselben Beziehung ergeben sich die drei anderen Antworten:
Die Energie wächst proportional zu jedem der drei Werte. Eine Verdopplung der Masse verdoppelt die Energie. Dasselbe gilt für eine Verdopplung der Höhe oder dafür, den Körper an einen Ort zu bringen, an dem die Schwerkraft doppelt so stark zieht. Hier wird nichts quadriert, was den wichtigsten Unterschied zur kinetischen Energie ausmacht.
Die Auflösung nach der Schwerebeschleunigung ist die ungewöhnliche Richtung. Sie beantwortet eine Frage der Form „Welche Zugkraft würde bei dieser Masse und dieser Höhe diese Energie ergeben?“. Damit lässt sich ein Körper anhand einer gemessenen Energie mit einem anderen vergleichen.
Die Höhe wird von einer vom Leser gewählten Bezugsebene aus gemessen
Potenzielle Energie hat keinen natürlichen Nullpunkt. Die Formel gibt die Energie relativ zu einer bestimmten Ebene an, die der Leser wählt: einen Fußboden, den Erdboden, den Meeresspiegel oder etwas anderes, das zum Problem passt. Von dort aus werden die Höhen gemessen.
Unterhalb dieser Ebene ist die Höhe negativ, und die Energie ist ebenfalls negativ. Die Seite behält das Vorzeichen bei, statt den Wert auf null zu begrenzen. Ein Kellerboden 3 m unterhalb des gewählten Nullpunkts besitzt tatsächlich weniger Energie als die Nullebene; ihn als null anzugeben, wäre nicht ordentlich, sondern falsch.
Welche Konstanten sind exakt?
Die Einheitenumrechnungen auf dieser Seite beruhen auf Definitionen, die von Normungsorganisationen vereinbart wurden, und nicht auf Messungen. Daher kann kein besseres Experiment eine davon ändern.
| Konstante | Wert | Exakt? | Quelle |
|---|---|---|---|
| Standardfallbeschleunigung | 9,80665 m/s² | Per Definition exakt | 3. CGPM (1901); NIST SP 811, Anhang B |
| Joule | 1 kg⋅m²/s² | definitionsgemäß exakt, da es sich um eine abgeleitete SI-Einheit handelt | SI-Broschüre, 9. Auflage |
| Pfund | 0,45359237 kg | Per Definition exakt | 1959 Internationales Yard- und Pfundabkommen |
| Unze, Stone, Short Ton, Long Ton | 1/16 lb, 14 lb, 2.000 lb, 2.240 lb | exakt; jede Einheit leitet sich vom Pfund ab | NIST SP 811, Anhang B |
| Metrische Tonne | 1.000 kg | Per Definition exakt | SI-Broschüre, 9. Auflage |
| Fuß | 0,3048 m | Per Definition exakt | 1959 Abkommen; NIST SP 811, Anhang B |
| Zoll, Yard, Meile | 0,0254 m, 0,9144 m, 1.609,344 m | exakt; jede Einheit ergibt sich aus demselben Abkommen | 1959 Abkommen; NIST SP 811, Anhang B |
| Seemeile | 1.852 m | Per Definition exakt | Internationale Hydrographische Konferenz, Monaco, 1929 |
| Fuß-Pfund-Kraft | 1,3558179483314003 J | exakt; das Pfund multipliziert mit der Standardfallbeschleunigung und dem Fuß | NIST SP 811, Anhang B |
Die Standardfallbeschleunigung ist eine Konvention und kein Messwert von einem bestimmten Ort. Die tatsächliche Schwerebeschleunigung an der Erdoberfläche variiert je nach Breitengrad und Höhe ungefähr zwischen 9,76 und 9,83 m/s². Die Werte für andere Himmelskörper sind Messwerte und gerundet: auf dem Mond etwa 1,62 m/s² und auf dem Mars etwa 3,71 m/s².
Die Seite trägt 9,80665 nicht automatisch in das Feld für die Schwerebeschleunigung ein. Der Wert wird stattdessen im Text neben dem Feld genannt, und ein Test verknüpft diesen Text mit der Konstante des Einheitenverzeichnisses, sodass die beiden nicht voneinander abweichen können.
Rechenbeispiel
Eine 70 kg schwere Person steigt auf der Erde bei Standardfallbeschleunigung 2 m Treppenstufen hinauf.
Die Multiplikation von 70 mit 9,80665 ergibt 686,4655. Multipliziert man diesen Wert mit 2, erhält man 1.372,931. Der Aufstieg speichert somit 1.372,931 J beziehungsweise etwa 1,37 Kilojoule.
Dieselben Werte funktionieren auch rückwärts. Bleibt die Masse leer und werden 1.372,931 J mit 9,80665 m/s² und 2 m eingegeben, ergibt die Division durch die Schwerebeschleunigung exakt 70, und die Seite zeigt 70 kg an. Bleibt stattdessen die Schwerebeschleunigung leer, ergibt die Division von 1.372,931 J durch 70 und anschließend durch 2 wieder 9,80665 m/s².
Dieselbe 70 kg schwere Person, die auf dem Mond, wo die Schwerebeschleunigung etwa 1,62 m/s² beträgt, um 2 m angehoben wird, speichert nur 226,8 J, also ungefähr ein Sechstel so viel.
Ein Beispiel im angloamerikanischen Maßsystem verwendet zwei der oben definierten Konstanten. Ein Pfund entspricht 0,45359237 kg und ein Fuß 0,3048 m. Die Multiplikation von 0,45359237 mit 9,80665 ergibt 4,4482216152605 Newton, also eine Pfundkraft. Multipliziert man diesen Wert mit 0,3048, erhält man 1,3558179483314003 J, also eine Fuß-Pfund-Kraft. Nach der Rundung auf acht signifikante Stellen zeigt die Seite 1,3558179 J an.
Ein Beispiel, das nicht glatt aufgeht: Ein Regalbrett befindet sich 0,1 m über einer Werkbank, die selbst 0,2 m über dem Fußboden steht. Ein Computer speichert diese beiden Zahlen binär, und ihre Summe ist 0,30000000000000004 statt 0,3. Für ein 1 kg schweres Buch in dieser Höhe beträgt die Energie 2,9419950000000004 J; die Seite zeigt 2,941995 J an. Wird diese Energie mit derselben Masse und Schwerebeschleunigung wieder eingegeben, ergibt sich die ursprüngliche Höhe Ziffer für Ziffer.
Aufbau der Rechenoperation
Acht signifikante Stellen reichen aus, um Rundungsfehler sichtbar zu machen; daher ist jede Umstellung so formuliert, dass sie sich bei gerundeten Werten exakt aufhebt.
Jede Antwort dividiert einmal durch jeden Faktor und nicht einmal durch deren Produkt. Die Division durch die Schwerebeschleunigung und anschließend durch die Höhe verarbeitet ein Wertepaar, dessen Produkt allein überlaufen oder auf null fallen würde. Ein unter der Standardfallbeschleunigung um einen Meter angehobenes Kilogramm speichert genau 9,80665 J, und jede Umstellung dieser Zeile dividiert exakt auf 1 zurück.
Was der Rechner ablehnt
Ein Eingabefeld übernimmt jede eingetippte oder eingefügte Zahl unverändert. Daher sind die Prüfungen im Berechnungscode entscheidend.
| Situation | Warum es keine Antwort gibt |
|---|---|
| Masse von null oder weniger | Ein Körper hat eine Masse größer als null. |
| Schwerebeschleunigung von null oder weniger | Ein Körper, auf den keine Schwerkraft wirkt, speichert bei keiner Höhe Energie. |
| Berechnung einer Masse oder Schwerebeschleunigung bei einer Höhe von null | Die Energie auf dem gewählten Nullniveau ist unabhängig davon, wie viel der Körper wiegt, null; daraus lässt sich daher nichts zurückgewinnen. Eine Division durch null würde Unendlich ergeben und damit eine mit großer Sicherheit falsche Antwort liefern. |
| Eine Masse oder Schwerebeschleunigung, die null oder weniger ergibt | Eine Energie und eine Höhe mit entgegengesetzten Vorzeichen würden einen negativen Wert erfordern. Eine Energie von null außerhalb der Bezugsebene erfordert überhaupt keine Masse oder Schwerebeschleunigung. Eine Energie, die im Vergleich zu den beiden anderen Werten winzig ist, wird bei der Division ebenfalls zu null, obwohl der tatsächliche Wert darüber liegt. |
| Ein Ergebnis, das zu groß für die Speicherung ist | Die Werte liegen außerhalb des Bereichs, den die Zahlen der Seite verarbeiten können; daher ist das Ergebnis keine Energie. |
| Eine Einheit, die auf der Seite nicht vorhanden ist | Ein gemeinsamer oder manuell bearbeiteter Link kann jede Einheit benennen, auch eine, die zu einer anderen Größe gehört. Die Seite akzeptiert das, statt abzubrechen. |
Eine negative Höhe wird ebenso wenig abgelehnt wie eine negative Energie, denn beide sind reale Ergebnisse unterhalb der gewählten Nullebene.
Zwei oder mehr leere Felder oder auch kein leeres Feld werden als Hinweis und nicht als Fehler behandelt. Die Seite verlangt genau ein leeres Feld und berechnet dieses.
Wo diese Formel nicht mehr funktioniert
Die Beziehung setzt voraus, dass die Schwerkraft an jedem Punkt des Aufstiegs gleich stark ist. Das gilt in der Nähe einer Oberfläche, wo eine Änderung um wenige Meter nichts Messbares bewirkt. Über Entfernungen, bei denen die Schwerkraft selbst schwächer wird, gilt dies nicht mehr, etwa bei einer Satellitenumlaufbahn; dort ist stattdessen die Form der potenziellen Energie im Gravitationsfeld nach dem inversen Quadratgesetz erforderlich.
Die Seite behandelt außerdem nur die potenzielle Energie im Gravitationsfeld. Eine gespannte Feder, ein komprimiertes Gas und eine chemische Bindung speichern ebenfalls Energie, und für jeden dieser Fälle gilt eine eigene Regel.
Häufig gestellte Fragen
Was ist potenzielle Energie im Gravitationsfeld? Sie ist die Energie, die ein Körper aufgrund seiner Höhe über einer gewählten Ebene besitzt. Das Anheben des Körpers führt ihm Energie zu. Beim Fallen wird diese Energie gewöhnlich als Bewegung wieder frei. Die Einheit ist das Joule.
Wie wird die potenzielle Energie berechnet? Man multipliziert die Masse in Kilogramm mit der Schwerkraft in Metern pro Sekunde zum Quadrat und anschließend mit der Höhe in Metern. Für eine Person mit 70 kg, die auf der Erde 2 m hinaufsteigt, ergibt 70 mal 9,80665 den Wert 686,4655, und 686,4655 mal 2 ergibt 1.372,931 J.
Welcher Wert für g sollte verwendet werden? Die Standardfallbeschleunigung, 9,80665 m/s², eignet sich für jedes alltägliche Problem auf der Erde und ist definitionsgemäß exakt, nicht gemessen. Die Fallbeschleunigung an der Oberfläche variiert je nach Ort geringfügig, von etwa 9,76 bis 9,83 m/s². Bei anderen Himmelskörpern kann das Feld jeden Wert annehmen: auf dem Mond etwa 1,62 m/s², auf dem Mars etwa 3,71 m/s².
Kann potenzielle Energie negativ sein? Ja. Die Höhe wird von einer Ebene aus gemessen, die der Leser auswählt, und ein Körper unterhalb dieser Ebene hat eine negative Höhe und eine negative Energie. Die Seite behält dieses Vorzeichen bei. Die kinetische Energie verhält sich anders, weil eine quadrierte Geschwindigkeit nie kleiner als null ist.
Wie wird die Höhe aus einer bekannten Energie ermittelt? Man teilt die Energie durch die Masse und anschließend durch die Schwerkraft. Bei 1.372,931 J, einer Masse von 70 kg und einer Lage auf der Erde ergibt die Division durch 70 den Wert 19,6133, und die Division dieses Werts durch 9,80665 ergibt 2 m.
Warum berechnet die Seite keine Masse, wenn die Höhe null ist? Auf der gewählten Nullebene ist die gespeicherte Energie unabhängig vom Gewicht des Körpers gleich null, daher sagt die Energie nichts über die Masse aus. Es gibt nichts zu bestimmen, und bei der erforderlichen Division stünde null im Nenner.