Zwei-Photonen-Absorptions-Rechner - Berechnung des TPA-Koeffizienten

Rechner für die Zweiphotonenabsorption

Ein Rechner für die Zweiphotonenabsorption wandelt drei Lasereinstellungen (Wellenlänge, Intensität und Pulsdauer) in eine einzelne beispielhafte Kennzahl um, die mit β bezeichnet und in cm/GW angegeben wird. Zweiphotonenabsorption ist ein Vorgang, bei dem ein Molekül fast gleichzeitig zwei Lichtphotonen statt eines Photons absorbiert; sie tritt nur bei hoher Lichtintensität auf. Die auf dieser Seite erzeugte Kennzahl dient als Lehrhilfe für die Berechnung und ist kein gemessener oder vorhergesagter Koeffizient eines realen Stoffes; der folgende Abschnitt erklärt, warum.

Was ist Zweiphotonenabsorption?

Bei der gewöhnlichen Absorption einzelner Photonen absorbiert ein Molekül ein Lichtphoton und springt in einen Zustand höherer Energie. Die Zweiphotonenabsorption (TPA) unterscheidet sich davon: Das Molekül absorbiert zwei Photonen innerhalb von Femtosekunden voneinander und nutzt ihre kombinierte Energie für denselben Übergang. Eine Femtosekunde ist ein Millionstel eines Milliardstels einer Sekunde.

Diese doppelte Absorption ist selten. Sie tritt nur dann häufig genug auf, um von Bedeutung zu sein, wenn das Licht extrem intensiv ist, da zwei Photonen fast gleichzeitig dasselbe Molekül erreichen müssen. Gewöhnliches Licht, sogar Sonnenlicht, ist viel zu schwach. Laser, die ihre Energie in kurze, intensive Pulse packen, machen TPA praktisch beobachtbar und nutzbar.

Die Physikerin Maria Göppert-Mayer sagte die Zweiphotonenabsorption in 1931 im Rahmen ihrer Doktorarbeit voraus. Keine Lichtquelle jener Zeit war intensiv genug, um sie nachzuweisen. Der in 1960 erfundene Laser änderte dies. In 1961 beobachteten die Forscher Wilhelm Kaiser und C. G. B. Garrett von den Bell Labs die Zweiphotonenabsorption erstmals; sie verwendeten einen Rubinlaser und einen mit Europium dotierten Kristall. Göppert-Mayer erhielt später gemeinsam mit anderen den 1963 Nobelpreis für Physik für andere Arbeiten zur Kernstruktur.

Formel für den Zweiphotonenabsorptionskoeffizienten

Der Rechner verwendet eine feste Formel:

$\beta = K \times \frac{I \times \tau}{\lambda^2}$

Dabei gilt:

• β — Zweiphotonenabsorptionskoeffizient in cm/GW
• K — eine feste Konstante, in diesem Rechner auf 1,5 gesetzt
• I — Lichtintensität, umgerechnet von W/cm² in GW/cm² (Division durch 10⁹)
• τ — Pulsdauer in Femtosekunden (fs)
• λ — Wellenlänge des Lichts in Nanometern (nm)

Warum diese Formel ein Platzhalter und keine Physik ist

Der Rechner weist offen darauf hin, ebenso wie dieser Artikel. In der realen Optik ist β eine intrinsische Eigenschaft des Materials. Er erscheint in der Gleichung dI/dz = −βI², der Zweiphotonenentsprechung der gewöhnlichen Beer-Lambert-Absorption, und hängt nur von der Bandlücke des Materials, seinem linearen Brechungsindex, seiner Kane-Energie und der Photonenenergie ab. Strahlintensität und Pulsdauer kommen darin nicht vor. Eine Verdopplung der Laserleistung verdoppelt den β-Wert eines Materials nicht.

Die obige Formel lässt β zwar mit Intensität und Pulsdauer steigen, kann diese physikalische Größe daher aber nicht beschreiben. Auch ihre Einheiten lassen sich nicht zu cm/GW vereinfachen: GW/cm² × fs ÷ nm² ist keine Länge geteilt durch eine Leistung. Die Zahl dient somit nur zur Veranschaulichung der Berechnung, und der Rechner zeigt dauerhaft eine entsprechende Warnung an.

Ein realer β-Wert erfordert entweder eine direkte Messung, gewöhnlich mit der Z-Scan-Methode, oder ein Materialmodell wie die Zweiband-Skalierungsregel von Sheik-Bahae, Hagan und Van Stryland, β = K·√E_p·F₂(2ħω/E_g) / (n₀²·E_g³). Dabei ist E_g die Bandlücke, n₀ der lineare Brechungsindex, E_p die Kane-Energie und F₂ eine feste Funktion des Verhältnisses 2ħω/E_g. Dieses Modell verwendet Materialparameter, nach denen dieser Rechner nicht fragt.

Verhalten der einzelnen Variablen

Wellenlänge (λ) steht im Nenner im Quadrat, daher sinkt die Kennzahl mit zunehmender Wellenlänge nach einer umgekehrt quadratischen Beziehung. Bei einer Änderung von 800 nm auf 1000 nm und unveränderter Intensität und Pulsdauer wird sie mit (800/1000)² = 0,64 multipliziert; das entspricht einem Rückgang um 36 % und nicht einem Rückgang um mehr als die Hälfte. Die meisten Zweiphotonenexperimente verwenden Licht im nahen Infrarotbereich, ungefähr 700–1000 nm, weil es biologisches Gewebe gut durchdringt. Titan-Saphir-Laser (Ti:Sapphire), die um 800 nm abstimmbar sind, stellen deshalb die häufigste Lichtquelle dar.

Intensität (I) muss im Labor ungefähr 10¹⁰ bis 10¹⁴ W/cm² erreichen, damit die Zweiphotonenabsorption signifikant wird; der Rechner markiert Werte außerhalb dieses Bereichs. Sonnenlicht an der Erdoberfläche hat nur etwa 0,1 W/cm² und ist viel zu schwach. Um diese Intensitäten zu erreichen, sind gepulste Laser erforderlich, die ihre Energie in kurzen Ausbrüchen bündeln, statt sie kontinuierlich zu verteilen.

Pulsdauer (τ) liegt bei TPA-Experimenten typischerweise zwischen 10 und 1000 Femtosekunden. Kürzere Pulse bündeln eine bestimmte Energiemenge in einer kürzeren Zeit und erzeugen dadurch eine höhere Spitzenintensität; sie erfordern jedoch auch komplexere und teurere Laserausrüstung.

Rechenbeispiel

Anwendung der Formel mit typischen Parametern eines Titan-Saphir-Lasers:

• Wellenlänge: 800 nm
• Intensität: 10¹² W/cm²
• Pulsdauer: 100 fs
• K = 1,5

Zunächst wird die Intensität in GW/cm² umgerechnet: 10¹² ÷ 10⁹ = 1000 GW/cm².

Anschließend wird die Formel angewendet:

β = 1,5 × (1000 × 100) ÷ 800² = 150.000 ÷ 640.000 = 0,234375; der Rechner zeigt dies als 0,2344 cm/GW an.

Wenn Intensität und Pulsdauer gleich bleiben, die Wellenlänge aber auf 1000 nm geändert wird, ergibt sich:

β = 1,5 × (1000 × 100) ÷ 1000² = 150.000 ÷ 1.000.000 = 0,15; angezeigt als 0,1500 cm/GW

Das entspricht einem Rückgang um 36 % und stimmt mit der oben beschriebenen umgekehrt quadratischen Beziehung überein.

Was der Rechner anzeigt

Die Seite gibt eine Zahl, den Koeffizienten, in cm/GW an. Werte zwischen 0,001 und 999 werden mit vier Dezimalstellen angezeigt; bei kleineren oder größeren Werten wird in die wissenschaftliche Schreibweise gewechselt, etwa 1,5000 × 10^-5. Ein darunterliegendes Feld wiederholt die Berechnung Schritt für Schritt mit der umgerechneten Intensität, sodass das Ergebnis von Hand überprüft werden kann.

Über den Eingabefeldern befindet sich dauerhaft ein Warnfeld, das darauf hinweist, dass die Zahl kein validierter physikalischer Koeffizient ist. Jede Eingabe wird einzeln geprüft. Ein Wert von null oder weniger wird mit einem Fehler zurückgewiesen; ein positiver Wert außerhalb des üblichen experimentellen Bereichs löst eine Bereichswarnung aus, erzeugt aber weiterhin ein Ergebnis. Eine Abbildung neben dem Ergebnis zeigt, wie der Strahl in eine Probe eintritt und sie wieder verlässt; die aktuelle Wellenlänge, Intensität und der Koeffizient sind beschriftet.

Anwendungen der Zweiphotonenabsorption

Zweiphotonenmikroskopie. Da die Absorption nur dort stattfindet, wo der Laserstrahl stark fokussiert ist, regt dieses Verfahren fluoreszierende Moleküle nur an einem einzigen Punkt tief im Inneren einer Probe an. Es wird häufig zur Bildgebung lebenden Hirngewebes eingesetzt, da es Schäden oder Ausbleichen außerhalb des Brennpunkts vermeidet. Winfried Denk, James Strickler und Watt Webb bauten an der Cornell University in 1990 das erste Zweiphotonenmikroskop.

Photodynamische Therapie. Nahinfrarotlicht dringt tiefer in Gewebe ein als sichtbares Licht. Die Zweiphotonenanregung kann ein lichtempfindliches Medikament nur im Brennpunkt des Lasers aktivieren und dadurch Tumoren gezielt behandeln, während das umliegende gesunde Gewebe geschont wird.

3D-optische Datenspeicherung. Durch Fokussieren eines Lasers auf verschiedene Tiefen innerhalb eines Materialblocks kann die Zweiphotonenabsorption Daten ausschließlich in der jeweiligen Tiefe markieren. Dadurch wird eine höhere Speicherdichte als bei oberflächenbasierten Formaten wie DVDs ermöglicht.

Zweiphotonen-Mikrofabrikation. Dieses auch als Zweiphotonenpolymerisation bezeichnete Verfahren härtet lichtempfindliches Harz nur im Brennpunkt des Lasers aus und erzeugt 3D-gedruckte Strukturen mit Merkmalen von weniger als 100 Nanometern.

Optische Begrenzung. Materialien mit einem hohen β-Wert bleiben bei normalen Lichtpegeln transparent, absorbieren unter einem intensiven Laserpuls jedoch stark. Diese Eigenschaft wird in Schutzbrillen und Sensorfiltern gegen versehentliche Laserexposition genutzt.

Berechnung des Absorptionskoeffizienten von Hand

1. Die Lichtintensität von W/cm² in GW/cm² umrechnen, indem durch 10⁹ dividiert wird.
2. Das Ergebnis mit der Pulsdauer in Femtosekunden multiplizieren.
3. Mit der Konstanten K multiplizieren (1,5 in diesem vereinfachten Modell).
4. Durch das Quadrat der Wellenlänge in Nanometern dividieren.

Der Rechner führt dieselben vier Schritte aus und markiert jede Eingabe außerhalb des typischen experimentellen Bereichs: 400–1200 nm für die Wellenlänge, 10¹⁰–10¹⁴ W/cm² für die Intensität und 10–1000 fs für die Pulsdauer. Werte außerhalb dieser Bereiche erzeugen weiterhin eine Zahl.

Häufig gestellte Fragen

Was ist Zweiphotonenabsorption? Dabei absorbiert ein Molekül fast gleichzeitig zwei Lichtphotonen statt eines, um einen Zustand höherer Energie zu erreichen. Sie wird erst bei sehr hoher Lichtintensität signifikant.

Was misst der Koeffizient β? In der Optik gibt β an, wie stark ein Material Zweiphotonenabsorption zeigt; die Einheit ist cm/GW. Ein höherer β-Wert bedeutet, dass das Material bei einer bestimmten Intensität stärker absorbiert. Veröffentlichten Werten zufolge liegt der Wert für Quarzglas nahe 10⁻⁶ cm/GW bei ungefähr 800 nm, während er für Galliumarsenid bei 1064 nm etwa 26 cm/GW beträgt. Die von dieser Seite ausgegebene Kennzahl ist keiner dieser Messwerte.

Warum benötigt die Zweiphotonenabsorption so intensives Licht? Zwei Photonen müssen innerhalb von Femtosekunden dasselbe Molekül treffen, was bei gewöhnlichen Lichtpegeln sehr unwahrscheinlich ist. Gepulste Laser bündeln Energie in kurzen Ausbrüchen, sodass dies häufig genug geschieht, um beobachtet und genutzt werden zu können.

Wie beeinflusst die Wellenlänge das Ergebnis dieses Rechners? Das Ergebnis sinkt mit dem Quadrat der zunehmenden Wellenlänge. Wird bei unveränderten anderen Einstellungen von 800 nm auf 1000 nm gewechselt, verringert es sich um 36 %, im oben ausgeführten Beispiel von 0,234375 auf 0,15.

Kann diese Formel für die Dreiphotonenabsorption verwendet werden? Nein. Die Dreiphotonenabsorption wird durch ihren eigenen Koeffizienten beschrieben, und die absorbierte Leistung wächst mit der dritten Potenz der Intensität statt mit deren Quadrat. Dafür ist ein eigenes Modell erforderlich.

Wie genau ist die vereinfachte Formel? Sie ist nicht genau und soll es auch nicht sein. Sie enthält keine Materialeigenschaften, und ihre Einheiten lassen sich nicht zu cm/GW vereinfachen; ihr Ergebnis sollte daher für keinen Stoff als Koeffizient angegeben werden. Für reale Arbeiten sollte ein Messwert oder ein Materialmodell wie der Zweibandausdruck von Sheik-Bahae verwendet werden.

Ändert sich ein realer Koeffizient, wenn die Laserleistung erhöht wird? Nein. β ist eine Eigenschaft des Materials und der Wellenlänge und bleibt daher bei Änderungen von Intensität und Pulsdauer gleich. Was sich ändert, ist die vom Material absorbierte Lichtmenge, da die Zweiphotonenabsorption Energie proportional zum Quadrat der Intensität entzieht.

Referenzen

1. Göppert-Mayer, M. (1931). „Über Elementarakte mit zwei Quantensprüngen.“ Annalen der Physik, 401(3), 273–294.
2. Kaiser, W., & Garrett, C. G. B. (1961). „Two-Photon Excitation in CaF₂: Eu²⁺.“ Physical Review Letters, 7(6), 229–231.
3. Denk, W., Strickler, J. H., & Webb, W. W. (1990). „Two-photon laser scanning fluorescence microscopy.“ Science, 248(4951), 73–76.
4. Rumi, M., & Perry, J. W. (2010). „Two-photon absorption: an overview of measurements and principles.“ Advances in Optics and Photonics, 2(4), 451–518.
5. Sheik-Bahae, M., Hagan, D. J., & Van Stryland, E. W. (1990). „Dispersion and band-gap scaling of the electronic Kerr effect in solids associated with two-photon absorption.“ Physical Review Letters, 65(1), 96–99.
6. Sheik-Bahae, M., Hutchings, D. C., Hagan, D. J., & Van Stryland, E. W. (1991). „Dispersion of bound electronic nonlinear refraction in solids.“ IEEE Journal of Quantum Electronics, 27(6), 1296–1309.