Ympyränlaskuri: Löydä säde, halkaisija, pinta-ala ja ympärysmitta

Ympyrälaskuri

Ympyrälaskuri määrittää ympyrän säteen, halkaisijan, kehän ja pinta-alan, kun jokin näistä neljästä arvosta tunnetaan. Syötä yksi tunnettu mitta, niin laskuri laskee kolme muuta tavanomaisten geometristen kaavojen avulla.

Ympyrä on tason kaikkien niiden pisteiden joukko, jotka sijaitsevat vakiomatkan päässä keskipisteestä. Tämä vakioetäisyys on säde. Halkaisija, kehä ja pinta-ala määräytyvät kaikki pelkän säteen perusteella.

Laskurin käyttö

1. Valitse tunnettu suure: säde, halkaisija, kehä tai pinta-ala.
2. Syötä sen lukuarvo. Arvon on oltava vähintään nolla; negatiivisilla pituuksilla ja pinta-aloilla ei ole fysikaalista merkitystä.
3. Laskuri näyttää säteen, halkaisijan, kehän ja pinta-alan pyöristettyinä kukin kahden desimaalin tarkkuuteen.

Laskuri piirtää myös ympyrän. Piirros on kaaviomainen eikä mittakaavan mukainen, joten pieni ja valtava ympyrä näyttävät suunnilleen samankokoisilta.

Nollan syöttäminen on sallittua, ja kaikista neljästä mittauksesta saadaan tulokseksi nolla, koska ympyrä, jonka säde on nolla, on yksi piste. Muut kuin numeeriset syötteet aiheuttavat tarkistusvirheen tuloksen sijaan.

Ympyrän kaavat

Merkitään sädettä kirjaimella r ja halkaisijaa kirjaimella d. Vakio π (pii) on likimäärin 3,14159; se on ympyrän kehän ja halkaisijan suhde.

Halkaisija säteen avulla:

$d = 2r$

Kehä:

$C = 2\pi r = \pi d$

Pinta-ala:

$A = \pi r^2 = \frac{\pi d^2}{4}$

Säde kehän avulla:

$r = \frac{C}{2\pi}$

Säde pinta-alan avulla:

$r = \sqrt{\frac{A}{\pi}}$

Yhdestä ainoasta arvosta voidaan johtaa kolme muuta ratkaisemalla ensin säde ja käyttämällä sitten edellä esitettyjä halkaisijan, kehän ja pinta-alan kaavoja.

Ympyrän mittojen laskeminen kunkin lähtöarvon perusteella

Kun lähtöarvona on säde (r):

• Halkaisija: $d = 2r$
• Kehä: $C = 2\pi r$
• Pinta-ala: $A = \pi r^2$

Kun lähtöarvona on halkaisija (d):

• Säde: $r = \frac{d}{2}$
• Kehä: $C = \pi d$
• Pinta-ala: $A = \frac{\pi d^2}{4}$

Kun lähtöarvona on kehä (C):

• Säde: $r = \frac{C}{2\pi}$
• Halkaisija: $d = \frac{C}{\pi}$
• Pinta-ala: $A = \pi r^2$

Kun lähtöarvona on pinta-ala (A):

• Säde: $r = \sqrt{\frac{A}{\pi}}$
• Halkaisija: $d = 2r$
• Kehä: $C = 2\pi r$

Esimerkkilaskelma

Ympyrän säde on 5 yksikköä.

• Halkaisija: d = 2 × 5 = 10 yksikköä.
• Kehä: C = 2π × 5 ≈ 31,42 yksikköä.
• Pinta-ala: A = π × 5² ≈ 78,54 neliöyksikköä.

Sama ympyrä voidaan kuvata myös sen noin 31,42 yksikön kehän avulla. Kun 31,42 jaetaan luvulla 2π, saadaan pyöristyksen jälkeen 5,00 yksikköä, joten säde palautuu ennalleen ja halkaisija sekä pinta-ala voidaan laskea kuten edellä. Mikä tahansa neljästä arvosta määrittää kolme muuta.

Ympyrän kaavat geometriassa

Luku π on irrationaaliluku, eli sen desimaalikehitelmä ei pääty eikä toistu jaksollisesti. Muinaiset matemaatikot arvioivat sitä likimääräisesti: babylonialaiset ja egyptiläiset käyttivät karkeita murtolukuja, ja Syrakusan Arkhimedes osoitti noin 250 eaa., että π on lukujen 223/71 ja 22/7 välissä käyttämällä ympyrän sisä- ja ulkopuolelle piirrettyjä monikulmioita. Matemaatikko Leonhard Euler teki π-symbolin tunnetuksi 18. vuosisadalla. Nykyaikaiset laskimet käyttävät π:stä paljon useampia desimaaleja kuin mikään fyysinen mittaus edellyttää.

Ympyrän kaavoja käytetään putkien, hammaspyörien ja pyörien mitoitukseen, pyöreän rakenteen tarvitseman materiaalimäärän laskemiseen sekä tähtitieteen kiertoratojen mallintamiseen.

Usein kysyttyä

Miten ympyrän kehä lasketaan? Kerro säde luvulla 2π tai halkaisija luvulla π: C = 2πr = πd. Ympyrän, jonka säde on 5 yksikköä, kehä on noin 31,42 yksikköä.

Mikä on ympyrän pinta-alan kaava? Pinta-ala on π kerrottuna säteen neliöllä: A = πr². Ympyrän, jonka säde on 5 yksikköä, pinta-ala on noin 78,54 neliöyksikköä.

Miten säde löydetään kehästä? Jaa kehä luvulla 2π (noin 6,2832). Kehä 31,42 yksikköä antaa säteeksi noin 5 yksikköä.

Miten säde löydetään pinta-alasta? Jaa pinta-ala luvulla π ja ota sitten neliöjuuri: r = √(A / π). Pinta-ala 78,54 neliöyksikköä antaa säteeksi noin 5 yksikköä.

Mikä on halkaisijan ja säteen välinen suhde? Halkaisija on aina kaksi kertaa säde (d = 2r), ja säde on aina puolet halkaisijasta (r = d / 2).

Voidaanko ympyrän mitat ilmoittaa millä tahansa yksiköllä? Kyllä. Säde, halkaisija ja kehä käyttävät samaa pituusyksikköä, kuten senttimetrejä tai tuumia, ja pinta-ala ilmoitetaan kyseisen yksikön neliönä. Laskuri ei muunna yksiköitä; tulokset käyttävät syötettyä yksikköä.

Lähteet

1. "Circle." Wolfram MathWorld. https://mathworld.wolfram.com/Circle.html
2. "Circumference and Area of a Circle." Khan Academy. https://www.khanacademy.org/math/basic-geo/basic-geo-circles
3. Beckmann, Petr. A History of π. St. Martin's Press, 1971.
4. Arkhimedes. Measurement of a Circle. https://www.math.ubc.ca/~vjungic/students/Archimedes-Measurement%20of%20a%20Circle.pdf