Rekenmachine voor spaarplannen: toekomstige waarde

Rekenmachine voor spaarplannen

Een rekenmachine voor spaarplannen schat hoeveel een spaar- of beleggingsrekening na een gekozen aantal jaren waard zal zijn. De rekenmachine combineert een eenmalige eerste storting met een maandelijkse, driemaandelijkse of jaarlijkse periodieke inleg en laat beide groeien met samengestelde rente.

Wat de calculator doet

De rekenmachine gebruikt zeven invoergegevens: de eerste storting, de periodieke inleg, hoe vaak er wordt ingelegd (maandelijks, driemaandelijks of jaarlijks), of elke inleg aan het begin of einde van de periode plaatsvindt, de jaarlijkse rente, hoe vaak de rente wordt samengesteld en het aantal jaren waarover het geld groeit.

De rekenmachine geeft drie bedragen: de toekomstige waarde (het eindsaldo), de totale inleg (de eerste storting plus alle periodieke stortingen) en de totale verdiende rente (het verschil tussen de twee). Een grafiek toont het saldo aan het einde van elke inlegperiode.

De eerste storting kan liggen tussen US$ 0 en US$ 1 biljoen en de inleg tussen US$ 0 en US$ 1 miljard per periode. De rente kan liggen tussen 0% en 100%. Het aantal jaren moet groter zijn dan 0 en maximaal 100 bedragen. Ten minste een van de storting en de inleg moet hoger zijn dan US$ 0.

De toekomstige waarde van een spaarplan berekenen

Twee standaardresultaten worden gecombineerd; beide worden beschreven in de Wikipedia-artikelen "Toekomstige waarde" en "Lijfrente".

De eerste storting groeit uitsluitend door samengestelde rente:

TW(storting) = P₀ × (1 + i)ˣ

De reeks periodieke stortingen groeit als een lijfrente:

TW(inleg) = PMT × (1 + i)ˣ⁻ᴺ × A

• P₀ is de eerste storting.
• PMT is de periodieke inleg.
• i is de rente voor één inlegperiode.
• x is de looptijd, uitgedrukt in inlegperioden (jaren × perioden per jaar).
• N is het aantal daadwerkelijk gedane stortingen.
• A is de lijfrentefactor, de toekomstige waarde van US$ 1 die gedurende N perioden elke periode wordt ingelegd.

De lijfrentefactor hangt af van het moment waarop stortingen plaatsvinden:

Een storting aan het begin van elke periode levert gedurende één extra periode rente op. Daar komt de extra factor (1 + i) vandaan. Bij een rente van 0% is de lijfrentefactor N: de stortingen worden zonder groei bij elkaar opgeteld.

De toekomstige waarde is de som van de twee delen. De totale rente is de toekomstige waarde min alles wat is ingelegd.

Wanneer rente en inleg verschillende frequenties hebben

Rente kan vaker of minder vaak worden samengesteld dan er wordt ingelegd, bijvoorbeeld maandelijkse renteberekening met driemaandelijkse stortingen. De rekenmachine zet de nominale jaarlijkse rente r, die n keer per jaar wordt samengesteld, om in de effectieve rente voor één inlegperiode (zie het Wikipedia-artikel "Effectieve rente"):

i = (1 + r/n)^(n/m) − 1

waarbij m het aantal stortingen per jaar is. Bij een jaarlijkse rente van 5% die maandelijks wordt samengesteld en driemaandelijkse stortingen is i = (1 + 0,05/12)³ − 1 ≈ 1,2552% per kwartaal. Wanneer de twee frequenties gelijk zijn, is i rechtstreeks r/n.

Uitgewerkt voorbeeld

Een plan begint met US$ 1.000 en voegt gedurende 10 jaar aan het begin van elke maand US$ 100 toe tegen een jaarlijkse rente van 5%, die maandelijks wordt samengesteld. Dit zijn de standaardwaarden van de rekenmachine.

1. Perioden per jaar m = 12, dus de looptijd is x = 120 perioden en N = 120 stortingen.
2. De maandrente is i = 0,05 / 12 ≈ 0,0041667.
3. Groeifactor: (1 + i)¹²⁰ ≈ 1,647009.
4. Eerste storting: US$ 1.000 × 1,647009 ≈ US$ 1.647,01.
5. Lijfrentefactor (achteraf): (1,647009 − 1) / 0,0041667 ≈ 155,282279. De stortingen vinden aan het begin van elke maand plaats, dus vermenigvuldig met (1 + i): 155,929289.
6. Inleg: US$ 100 × 155,929289 ≈ US$ 15.592,93.
7. Toekomstige waarde: US$ 1.647,01 + US$ 15.592,93 = US$ 17.239,94.

De totale inleg is US$ 1.000 + 120 × US$ 100 = US$ 13.000, dus de totale rente is US$ 17.239,94 − US$ 13.000 = US$ 4.239,94. Met hetzelfde plan, maar met stortingen aan het einde van elke maand, bedraagt de toekomstige waarde US$ 17.175,24, ongeveer US$ 65 minder.

Een tweede voorbeeld met stortingen aan het einde van de maand: een eerste storting van US$ 5.000, US$ 200 per maand, 6% maandelijks samengesteld, gedurende 20 jaar. Hier geldt (1,005)²⁴⁰ ≈ 3,310204; de storting groeit tot US$ 16.551,02, de lijfrentefactor is 462,040895 en de inleg groeit tot US$ 92.408,18. De toekomstige waarde is US$ 108.959,20: er is US$ 53.000 ingelegd en US$ 55.959,20 aan rente opgebouwd. Dit komt overeen met de calculator voor samengestelde rente op investor.gov van de Amerikaanse Securities and Exchange Commission, waarmee de rekenmotor van de tool is gecontroleerd.

Conventies die deze rekenmachine gebruikt

Stortingen vinden standaard aan het begin van de periode plaats. Bij de meeste echte spaarplannen wordt het bedrag aan het begin van elke maand van de rekening afgeschreven, dus standaard wordt een lijfrente vooruit gebruikt. Veel studieboeken en rekenmachines gaan echter uit van een lijfrente achteraf; met de optie voor het moment kan tussen beide worden gewisseld.

Bij gebroken jaren wordt het aantal stortingen bepaald door het moment. Bij 2,5 jaar met jaarlijkse stortingen doet een plan met stortingen aan het einde van de periode 2 stortingen (alleen voltooide jaren leiden tot een storting), terwijl een plan met stortingen aan het begin van de periode 3 stortingen doet (elke storting wordt aan het begin van het jaar gedaan). Elke gedane storting, evenals de eerste som, groeit nog steeds tot aan de exacte looptijd, inclusief de laatste gedeeltelijke periode.

De resultaten zijn nominaal. Er wordt niets afgetrokken voor inflatie, belasting of kosten. De toekomstige waarde is het bedrag dat op het rekeningafschrift zou staan, niet de koopkracht ervan.

Afronding vindt één keer plaats, aan het einde. De toekomstige waarde en de totale inleg worden elk afgerond op de cent, en de totale rente is hun verschil. Daardoor tellen de drie weergegeven bedragen altijd precies op.

Veelgestelde vragen

Wat is de toekomstige waarde van een spaarplan? Dit is het rekeningsaldo aan het einde van het plan: de eerste storting en elke periodieke storting, elk vermeerderd met samengestelde rente vanaf het moment van inleg tot het einde.

Maakt het echt verschil als er aan het begin van de maand wordt ingelegd? Ja, een beetje. Elke storting levert gedurende één extra periode rente op, waardoor het inleggedeelte van het saldo wordt vermenigvuldigd met (1 + i). In het standaardvoorbeeld bedraagt het verschil over 10 jaar US$ 64,70.

Waarom verandert de frequentie van renteberekening het resultaat? Bij vaker samengestelde rente wordt de rente eerder bijgeschreven, waardoor die ook eerder rente gaat opleveren. De rekenmachine verwerkt dit in de effectieve rente per periode i = (1 + r/n)^(n/m) − 1, zodat elke combinatie van rente- en inlegfrequentie precies wordt verwerkt.

Wat gebeurt er bij een rente van 0%? De toekomstige waarde is dan simpelweg de som van al het ingelegde geld. Het standaardplan eindigt bij 0% precies op US$ 13.000, met US$ 0 rente.

Houdt de rekenmachine rekening met inflatie of belastingen? Nee. Alle resultaten zijn nominale bedragen in dollars. Om de koopkracht te schatten kan in plaats daarvan een lagere "reële" rente worden ingevoerd, maar negatieve rentes worden door de tool niet geaccepteerd.

Waarom is de totale rente de toekomstige waarde min de totale inleg? Rente is elke dollar op de rekening die niet is ingelegd. Omdat stortingen in de totale inleg worden meegeteld, moet alles wat van de toekomstige waarde overblijft door samengestelde rente zijn ontstaan.

Referenties

1. "Future value." Wikipedia, https://en.wikipedia.org/wiki/Future_value.
2. "Annuity." Wikipedia, https://en.wikipedia.org/wiki/Annuity.
3. "Effective interest rate." Wikipedia, https://en.wikipedia.org/wiki/Effective_interest_rate.
4. "Compound Interest Calculator." U.S. Securities and Exchange Commission, Investor.gov, https://www.investor.gov/financial-tools-calculators/calculators/compound-interest-calculator.