เครื่องคำนวณวงกลมหนึ่งหน่วย: ค่าไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์ที่แน่นอน
ป้อนมุมเป็นองศาหรือเรเดียนเพื่อดูจุดบนวงกลมหนึ่งหน่วย ค่าไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ มุมอ้างอิง และจตุภาคของมุมนั้น พร้อมค่าที่แน่นอนสำหรับมุมมาตรฐาน
Unit Circle Calculator
Enter an angle in degrees or radians to get its point on the unit circle, its sine, cosine and tangent, its reference angle and its quadrant. The standard angles are answered exactly.
Point on the circle (x, y)
(√3/2, 1/2)
Sine, cosine and tangent
cos θ (the x coordinate)
√3/2
sin θ (the y coordinate)
1/2
tan θ
√3/3
This is one of the sixteen standard angles, so the values are exact rather than rounded. As decimals: cos θ = 0.8660254, sin θ = 0.5, tan θ = 0.57735027.
Where it lands
Quadrant or axis
Quadrant I
Reference angle
30°
Reference angle in radians
π/6rad
The angle
Angle in degrees
30°
Angle in radians
0.52359878rad
Folded into one turn
30°
Folded angle in radians
π/6rad
The unit circle has radius 1 and is centred on the origin. A point on it is (cos θ, sin θ), so the coordinates and the two function values are the same pair of numbers. The tangent is sin θ divided by cos θ, which has no value where cos θ is 0.
เครื่องคำนวณโหลด...
📚
เอกสารประกอบการใช้งาน
เครื่องคำนวณวงกลมหนึ่งหน่วย
วงกลมหนึ่งหน่วยคือวงกลมรัศมี 1 ที่วาดล้อมรอบจุดกำเนิดของกราฟ เครื่องคำนวณวงกลมหนึ่งหน่วยรับมุมหนึ่งค่าและรายงานว่ามุมนั้นตัดกับวงกลมที่ใด ได้แก่ จุด (x, y) ค่าไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์ มุมอ้างอิง และควอดแรนต์ หน้านี้อ่านมุมเป็นองศาหรือเรเดียน และให้ค่าที่แน่นอน เช่น √3/2 ที่มุมมาตรฐานทั้งสิบหกค่า
เครื่องคำนวณทำอะไร
ผู้ใช้ป้อนมุมหนึ่งค่าและเลือกองศาหรือเรเดียน หน้าจะแสดง:
- จุด (x, y) ที่มุมตัดกับวงกลม
- cos θ, sin θ และ tan θ
- มุมอ้างอิงทั้งในหน่วยองศาและเรเดียน
- ควอดแรนต์ หรือแกนเมื่อมุมตกลงบนแกน
- มุมในทั้งสองหน่วย และมุมเดียวกันที่ปรับให้อยู่ภายในหนึ่งรอบการหมุน
สำหรับมุมมาตรฐาน 16 มุม คำตอบจะแสดงเป็นรูปแบบปิดที่แน่นอน โดยมีเลขทศนิยมแสดงอยู่ด้านล่าง มุมอื่น ๆ จะแสดงด้วยเลขนัยสำคัญแปดหลัก เฉพาะการแสดงผลเท่านั้นที่ถูกปัดเศษ
สูตรวงกลมหนึ่งหน่วย
วัดมุมทวนเข็มนาฬิกาจากแกน x บวก รังสีที่ลากออกไปด้วยมุม θ จะตัดวงกลมที่จุดหนึ่ง และพิกัดทั้งสองของจุดนั้นคือค่าโคไซน์และค่าไซน์:
โดยที่ คือพิกัดแนวนอน คือพิกัดแนวตั้ง และ คือมุม
รัศมีคือ 1 ดังนั้นพิกัดและค่าฟังก์ชันทั้งสองจึงเป็นคู่ตัวเลขเดียวกันภายใต้ชื่อสองแบบ นี่คือเหตุผลที่วาดวงกลมด้วยรัศมี 1 แทนที่จะใช้ขนาดอื่น แทนเจนต์สร้างจากคู่เดียวกัน:
ทุกจุดบนวงกลมยังเป็นไปตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส ซึ่งนำมาใช้กับสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านยาว และ และมีด้านตรงข้ามมุมฉากยาว 1:
องศาและเรเดียน
หน้าดังกล่าวรับได้ทั้งสองหน่วยและรายงานทั้งคู่ โดยทั้งสองหน่วยสัมพันธ์กันผ่านการหมุนครึ่งรอบที่เท่ากับ π เรเดียน:
\qquad \theta_{\mathrm{deg}} = \theta_{\mathrm{rad}} \times \frac{180}{\pi}$$ โดย $\theta_{\mathrm{deg}}$ คือมุมในหน่วยองศา และ $\theta_{\mathrm{rad}}$ คือมุมเดียวกันในหน่วยเรเดียน ### การพับให้อยู่ภายในการหมุนหนึ่งรอบ มุมอาจเป็นค่าลบและอาจเกินหนึ่งรอบเต็ม จุดบนวงกลมจะซ้ำทุก ๆ 360° ดังนั้นหน้าจะพับมุมให้อยู่ในช่วงตั้งแต่ 0° ถึงก่อน 360°: $$\theta_0 = ((\theta \bmod 360) + 360) \bmod 360$$ โดยที่ $\theta$ คือมุมที่ป้อนในหน่วยองศา และ $\theta_0$ คือทิศทางเดียวกันที่เขียนให้อยู่ภายในการหมุนหนึ่งรอบ 750° จะพับเป็น 30° และ −30° จะพับเป็น 330° การพับทำในหน่วยองศา ซึ่งเศษเหลือจะได้ค่าแน่นอน ### มุมอ้างอิงและควอดแรนต์ มุมอ้างอิงคือมุมแหลมระหว่างรังสีกับแกน x และมีค่าไม่เกิน 90°: $$\theta_{\mathrm{ref}} = \begin{cases} \theta_0 & \text{if } \theta_0 \le 90 \\ 180 - \theta_0 & \text{if } \theta_0 \le 180 \\ \theta_0 - 180 & \text{if } \theta_0 \le 270 \\ 360 - \theta_0 & \text{มิฉะนั้น} \end{cases}$$ โดยที่ $\theta_0$ คือมุมที่พับแล้วในหน่วยองศา ขนาดของไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์ขึ้นอยู่กับมุมอ้างอิงเท่านั้น ส่วนควอดแรนต์เป็นตัวกำหนดเครื่องหมาย | ควอดแรนต์ | มุมที่พับแล้ว | cos | sin | tan | |---|---|---|---|---| | I | 0° ถึง 90° | + | + | + | | II | 90° ถึง 180° | − | + | − | | III | 180° ถึง 270° | − | − | + | | IV | 270° ถึง 360° | + | − | − | มุม 0°, 90°, 180° และ 270° อยู่บนแกน จตุภาคคือบริเวณเปิดระหว่างแกนสองแกน ดังนั้นทั้งสี่มุมนี้จึงไม่อยู่ภายในจตุภาคใด และหน้าจะแสดงชื่อแกนแทนการเลือกจตุภาคข้างเคียง ### มาตรฐานมุมสิบหกค่า มุมอ้างอิงห้าค่ามีรูปแบบปิดที่แน่นอน | มุมอ้างอิง | cos | sin | tan | |---|---|---|---| | 0° (0) | 1 | 0 | 0 | | 30° (π/6) | √3/2 | 1/2 | √3/3 | | 45° (π/4) | √2/2 | √2/2 | 1 | | 60° (π/3) | 1/2 | √3/2 | √3 | | 90° (π/2) | 0 | 1 | ไม่กำหนด | การสะท้อนแถวเหล่านั้นไปยังอีกสามควอดแรนต์ให้มุมสิบหกค่า ได้แก่ 0, 30, 45, 60, 90, 120, 135, 150, 180, 210, 225, 240, 270, 300, 315 และ 330 องศา หน้าสร้างค่าเหล่านี้โดยหมุนจุดในควอดแรนต์แรกทีละหนึ่งในสี่รอบ แทนการถอดตารางซ้ำสี่ครั้ง เพราะการถอดตารางเป็นจุดที่เครื่องหมายผิดอาจเล็ดลอดเข้ามา 15°, 75° และ 105° ก็มีรูปแบบปิดเช่นกัน แต่เป็นรูปแบบที่มีสองพจน์ เช่น 2 − √3 ค่าเหล่านี้อยู่นอกกลุ่มนี้และจะแสดงเป็นเลขทศนิยม 15° ให้ค่า cos 0.96592583, sin 0.25881905 และ tan 0.26794919 ### ตัวอย่าง: 210 องศา 210° มากกว่า 180° และน้อยกว่า 270° จึงอยู่ในควอดแรนต์ III เมื่อนำ 180 ออก จะเหลือมุมอ้างอิง 30° ที่มุมอ้างอิง 30° ค่าทั้งสามคือ √3/2, 1/2 และ √3/3 ควอดแรนต์ III ทำให้พิกัดทั้งสองเป็นลบ ดังนั้นจุดคือ (−√3/2, −1/2) แทนเจนต์คือจำนวนลบหารด้วยจำนวนลบ จึงยังคงเป็นบวกที่ √3/3 ในหน่วยเรเดียน มุมคือ 7π/6 และมุมอ้างอิงคือ π/6 ในรูปทศนิยม หน้าจะแสดง cos −0.8660254, sin −0.5 และ tan 0.57735027 570° และ −150° ให้คำตอบเดียวกัน เพราะทั้งคู่พับเป็น 210° ### ค่าคงที่ใดบ้างที่เป็นค่าที่แน่นอน | ค่าคงที่ | ค่า | แน่นอนหรือไม่? | แหล่งที่มา | |---|---|---|---| | องศาภายในการหมุนหนึ่งรอบ | 360 | เป็นค่าที่แน่นอนตามนิยาม | ISO 80000-3 | | เรเดียนภายในการหมุนหนึ่งรอบ | 2π | เป็นค่าที่แน่นอนตามนิยาม | ISO 80000-3; เอกสาร SI | | cos 30°, sin 60° | √3/2 | ค่าแน่นอน | NIST DLMF §4.14 | | cos 45°, sin 45° | √2/2 | ค่าแน่นอน | NIST DLMF §4.14 | | cos 60°, sin 30° | 1/2 | ค่าแน่นอน | NIST DLMF §4.14 | | tan 90°, tan 270° | ไม่มีค่า | ค่าที่แน่นอน เป็นโพล | NIST DLMF §4.15 | π เป็นจำนวนอตรรกยะ จึงไม่มีรูปทศนิยมหรือเลขฐานสองที่แน่นอน และค่าที่จัดเก็บไว้ของมันจะถูกปัดเศษ หน้าหลีกเลี่ยงไม่ให้การปัดเศษนั้นส่งผลต่อคำตอบด้วยสองวิธี การพับทำในหน่วยองศา ซึ่ง 360 หารลงตัว และมุมมาตรฐานจะอ่านจากตารางรูปแบบปิดด้านบน ไม่เคยอ่านจากค่าไซน์แบบเลขทศนิยมลอยตัว ### การอ่านมุมที่ป้อนเป็นเรเดียน ค่ามุมเรเดียนที่ป้อนเป็นเลขทศนิยมที่ถูกปัดเศษอยู่แล้ว π/2 ป้อนเป็น 1.5707963267948966 และเมื่อแปลงกลับจะได้มุมที่ห่างจาก 90° ประมาณหนึ่งในสิบล้านล้านขององศา แทนที่จะเท่ากับ 90° พอดี ดังนั้นหน้าจะอ่านมุมใด ๆ ที่อยู่ภายในหนึ่งในล้านขององศาจากมุมมาตรฐานว่าเป็นมุมนั้น ค่าความคลาดเคลื่อนนี้เลือกว่าจะใช้ตารางใด แต่ไม่เคยขยายคำตอบ 30.001° จะไม่กลายเป็น 30° ระบบปฏิเสธมุมที่มากกว่าหนึ่งพันล้านองศา นี่เป็นข้อจำกัดของการคำนวณเลขคณิต ไม่ใช่ของเรขาคณิต ช่องว่างระหว่างตัวเลขที่คอมพิวเตอร์จัดเก็บได้จะเพิ่มขึ้นตามขนาดของตัวเลข และเมื่อเกินประมาณสี่พันห้าร้อยล้านองศา ช่องว่างจะกว้างกว่าค่าคลาดเคลื่อนหนึ่งในล้านขององศา ทำให้การพับไม่เก็บรายละเอียดเพียงพอที่จะระบุชื่อมุมได้ การจำกัดไว้ที่หนึ่งพันล้านจึงยังมีระยะเผื่อ ### คำถามที่พบบ่อย **วงกลมหนึ่งหน่วยใช้ทำอะไร?** วงกลมนี้เปลี่ยนค่าไซน์และโคไซน์ให้เป็นพิกัด การอ่านจุดหนึ่งจุดจากวงกลมจะให้ค่าทั้งสองพร้อมกัน และภาพยังแสดงให้เห็นว่าเหตุใดค่าทั้งสองจึงซ้ำทุกการหมุนเต็มรอบ และเหตุใดเครื่องหมายจึงเปลี่ยนจากควอดแรนต์หนึ่งไปยังอีกควอดแรนต์หนึ่ง **ค่าที่แน่นอนของ sin 30° คืออะไร?** หนึ่งส่วนสอง cos 30° คือ √3/2 หรือประมาณ 0.8660254 และ tan 30° คือ √3/3 หรือประมาณ 0.57735027 **เหตุใด tan 90° จึงไม่กำหนด?** แทนเจนต์คือค่าไซน์หารด้วยค่าโคไซน์ และ cos 90° เท่ากับ 0 การหารด้วยศูนย์ไม่มีคำตอบ หน้าค้นหาจุดโพลด้วยการระบุชื่อมุม ไม่ใช่ตรวจว่าแทนเจนต์ที่คำนวณได้มีค่ามากหรือไม่ เพราะแทนเจนต์ที่ชันมากและอยู่ใกล้ 90° เพียงเล็กน้อยยังเป็นจำนวนธรรมดา **มุมอ้างอิงคืออะไร?** มุมอ้างอิงคือมุมแหลมระหว่างรังสีกับแกน x จึงอยู่ระหว่าง 0° และ 90° เสมอ 150°, 210° และ 330° ล้วนมีมุมอ้างอิงเป็น 30° นี่คือเหตุผลที่ไซน์และโคไซน์ของมุมเหล่านี้ใช้ขนาดสามค่าเดียวกันและต่างกันเพียงเครื่องหมาย **มุมลบใช้ได้หรือไม่?** ได้ มุมลบจะหมุนตามเข็มนาฬิกา −30° ชี้ไปในทิศทางเดียวกับ 330° ดังนั้นหน้าจะแสดงจุด (√3/2, −1/2) และควอดแรนต์ IV **เหตุใดหน้าจึงแสดงมุมสองครั้ง?** 750° และ 30° ตัดวงกลมที่จุดเดียวกัน แต่ไม่ใช่การหมุนเดียวกัน หน้าจะแสดงมุมตามที่ป้อน แปลงเป็นอีกหน่วยหนึ่ง และแสดงมุมที่พับแล้วไว้ข้าง ๆ