เครื่องคำนวณช่วงความเชื่อมั่นเป็นส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

เครื่องคำนวณนี้แปลงช่วงความเชื่อมั่น (confidence interval) ที่รายงานไว้กลับเป็นความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน (standard error) และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (standard deviation) โดยต้องใช้ขอบเขตทั้งสองของช่วง ขนาดตัวอย่าง และระดับความเชื่อมั่น งานวิจัยหลายฉบับรายงานค่าเฉลี่ยพร้อมช่วงความเชื่อมั่น แต่ไม่ได้ระบุส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ซึ่งจำเป็นต่อการทำเมตาแอนะลิซิส (meta-analysis) และการคำนวณอำนาจการทดสอบ

เครื่องคำนวณนี้ทำอะไร

โดยทั่วไปช่วงความเชื่อมั่นของค่าเฉลี่ยถูกสร้างขึ้นดังนี้

CI = estimate ± Z × (σ / √n)

ส่วนที่อยู่หลังเครื่องหมาย ± คือค่าคลาดเคลื่อนสูงสุด (margin of error) ซึ่งเท่ากับค่าวิกฤต Z คูณด้วยความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน เนื่องจากช่วงนี้สมมาตร ครึ่งหนึ่งของความกว้างจึงเท่ากับค่าคลาดเคลื่อนสูงสุด การย้อนสูตรกลับทำให้หาความคลาดเคลื่อนมาตรฐานได้ และจากนั้นจึงหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

สูตร

width = upper bound − lower bound

SE = width ÷ (2 × Z)

σ = SE × √n

SE คือความคลาดเคลื่อนมาตรฐานของค่าเฉลี่ย σ คือส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน Z คือค่าวิกฤตสองด้าน (two-sided critical value) ของการแจกแจงปกติมาตรฐาน (standard normal distribution) ที่ตรงกับระดับความเชื่อมั่นนั้น

ค่าวิกฤต

สำหรับระดับความเชื่อมั่นอื่น ๆ ค่า Z คือค่าที่เหลือความน่าจะเป็นครึ่งหนึ่งของส่วนที่เหลือไว้ในแต่ละหาง เครื่องคำนวณจะคำนวณค่านี้ให้โดยอัตโนมัติตามระดับความเชื่อมั่นที่ป้อนเข้าไป

ตัวอย่าง

งานวิจัยชิ้นหนึ่งรายงานผลต่างของค่าเฉลี่ยเท่ากับ −2.6 พร้อมช่วงความเชื่อมั่น 95% ตั้งแต่ −5.2 ถึง −0.01 จากผู้เข้าร่วม 78 คน

1. ความกว้าง = −0.01 − (−5.2) = 5.19
2. Z สำหรับความเชื่อมั่น 95% = 1.96
3. SE = 5.19 ÷ (2 × 1.96) = 1.324
4. σ = 1.324 × √78 = 1.324 × 8.832 = 11.69

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานมีค่าประมาณ 11.69

เมื่อวิธีนี้ให้ผลเป็นค่าประมาณ

สูตรนี้สมมติว่าช่วงสมมาตรรอบค่าประมาณ และสร้างขึ้นจากการแจกแจงปกติ มีสองสถานการณ์ที่ทำให้ข้อสมมตินี้ไม่เป็นจริง

ตัวอย่างขนาดเล็กมักใช้การแจกแจงที (t distribution) แทนการแจกแจงปกติ ค่าวิกฤตของ t มีค่ามากกว่า ดังนั้นการใช้ Z แทนจะทำให้ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานต่ำกว่าความจริงเล็กน้อย ความแตกต่างนี้จะลดลงเมื่อขนาดตัวอย่างเพิ่มขึ้น และมีค่าน้อยมากเมื่อจำนวนตัวอย่างมากกว่าประมาณ 30 ตัวอย่าง

ช่วงความเชื่อมั่นของอัตราส่วน เช่น อัตราส่วนออดส์ (odds ratio) หรืออัตราส่วนความเสี่ยง (hazard ratio) จะสมมาตรบนสเกลลอการิทึม ไม่ใช่บนสเกลเดิม ต้องแปลงขอบเขตเหล่านั้นด้วยลอการิทึมก่อนจึงจะใช้สูตรนี้ได้

หากค่าประมาณจุดไม่อยู่ตรงจุดกึ่งกลางของช่วง เครื่องคำนวณจะระบุว่าช่วงนั้นไม่สมมาตร และควรถือว่าผลลัพธ์เป็นเพียงค่าประมาณ

คำถามที่พบบ่อย

ความคลาดเคลื่อนมาตรฐานกับส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานต่างกันอย่างไร

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานบอกว่าค่าข้อมูลแต่ละตัวกระจายตัวมากน้อยเพียงใด ความคลาดเคลื่อนมาตรฐานบอกว่าค่าเฉลี่ยที่ประมาณได้มีความแม่นยำเพียงใด ทั้งสองเชื่อมโยงกันด้วยสูตร SE = σ / √n ดังนั้นความคลาดเคลื่อนมาตรฐานจะลดลงเมื่อขนาดตัวอย่างเพิ่มขึ้น ในขณะที่ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานไม่เปลี่ยนแปลง

ทำไมต้องหารด้วย 2Z แทนที่จะหารด้วย Z

ความกว้างเต็มของช่วงครอบคลุมทั้งสองด้านของค่าประมาณ ค่าคลาดเคลื่อนสูงสุดหนึ่งค่าเท่ากับครึ่งหนึ่งของความกว้าง จึงนำครึ่งความกว้างไปหารด้วย Z ซึ่งให้ผลเท่ากับการนำความกว้างเต็มไปหารด้วย 2Z

ใช้กับช่วงที่อิงการแจกแจงทีได้หรือไม่

ได้ แต่ต้องแทนที่ Z ด้วยค่าวิกฤตของการแจกแจงทีที่มีองศาอิสระ (degrees of freedom) เท่ากับ n − 1 การใช้ Z กับตัวอย่างขนาดเล็กจะให้ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานที่ต่ำกว่าความจริงเล็กน้อย

ถ้ารายงานเฉพาะค่าคลาดเคลื่อนสูงสุดเท่านั้นล่ะ

ให้คูณค่านั้นด้วยสองเพื่อหาความกว้าง แล้วทำตามขั้นตอนเดิม

ค่าประมาณจุดมีผลต่อคำตอบหรือไม่

ไม่มีผล มีเพียงความกว้าง ระดับความเชื่อมั่น และขนาดตัวอย่างเท่านั้นที่ใช้ในสูตร ส่วนค่าประมาณจุดใช้เพียงเพื่อตรวจสอบว่าช่วงนั้นสมมาตรหรือไม่