Калькулятор площі поверхні

Q: Яка формула площі поверхні сфери?

$SA = 4\pi r²$, де r — радіус. Сфера з радіусом 5 м має площу поверхні приблизно 314,16 м².

Площа поверхні тривимірної фігури — це сумарна площа всіх граней і криволінійних поверхонь, що покривають її зовнішню частину; її вимірюють у квадратних одиницях, наприклад у квадратних метрах або квадратних футах. Цей калькулятор знаходить площу поверхні семи поширених геометричних тіл: кулі, куба, циліндра, піраміди, конуса, прямокутного паралелепіпеда та трикутної призми.

Що означає площа поверхні

Площа поверхні — це сума площ усіх зовнішніх поверхонь геометричного тіла. Площа поверхні куба — це сумарна площа його шести плоских квадратних граней. Площа поверхні кулі — це площа її єдиної криволінійної зовнішньої поверхні. Площа поверхні відрізняється від об’єму, який вимірює простір усередині тіла, а не площу його межі. Обидві величини вимірюють у різних одиницях: площу поверхні — у квадратних одиницях (м²), а об’єм — у кубічних одиницях (м³).

Як обчислити площу поверхні

Виберіть фігуру зі списку семи варіантів.
Введіть потрібні для фігури вимірювання:
- Куля: радіус
- Куб: довжина ребра
- Циліндр: радіус і висота
- Піраміда: довжина основи, ширина основи та похила висота
- Конус: радіус і висота
- Прямокутний паралелепіпед: довжина, ширина та висота
- Трикутна призма: довжина основи, висота трикутної грані та довжина призми
Результат з’являється автоматично, щойно всі обов’язкові поля отримують значення.
Перегляньте площу поверхні у квадратних одиницях. Кнопка копіювання поруч із результатом копіює його до буфера обміну.

Поки обов’язкове поле залишається порожнім, калькулятор показує коротку підказку замість результату. Коли всі поля заповнено, нульове або від’ємне число спричиняє повідомлення про помилку.

Для піраміди діє додаткове правило, однакове для будь-якої основи — квадратної чи прямокутної: введена похила висота має бути більшою за половину ширини основи. Половина ширини основи — це відстань від центра основи до середини ребра основи, що має довжину основи. Похила висота, яка дорівнює цій величині або менша за неї, не залишає місця для вертикальної висоти, тому такої піраміди не існує, і калькулятор видає помилку.

Формули площі поверхні

У наведених нижче формулах r — радіус, h — висота, l — довжина, w — ширина, b — довжина основи, а s — похила висота.

Сфера: $SA = 4\pi r²$
Куб: $SA = 6a²$ , де a — довжина ребра
Циліндр: $SA = 2\pi r² + 2\pi rh$ , площа двох круглих основ плюс площа бічної поверхні
Конус: $SA = \pi r² + \pi rs$ , де похила висота $s = \sqrt{r² + h²}$
Піраміда з квадратною основою: $SA = l² + 2ls$ , де l — довжина основи, а s — похила висота трикутної грані
Прямокутний паралелепіпед: $SA = 2(lw + lh + wh)$
Трикутна призма (трикутний поперечний переріз із основою b, висотою h і двома рівними похилими сторонами $a = c$ ): $SA = bh + (a + b + c)L$ , де L — довжина призми, а $a = c = \sqrt{h² + (b/2)²}$ — для симетричного (рівнобедреного) трикутника

Піраміда з прямокутною основою має дві різні похилі висоти — по одній для кожної пари трикутних граней. У полі «Похила висота» задається похила висота s двох граней, що спираються на ребра довжини основи. За цим значенням калькулятор обчислює вертикальну висоту h за формулою $h = \sqrt{s² - (w/2)²}$ , а потім знаходить іншу пару граней:

Піраміда з прямокутною основою: $SA = lw + ls + w\sqrt{h² + (l/2)²}$ , де l — довжина основи, w — ширина основи, а h — вертикальна висота, обчислена за s.

Наведена вище формула для квадратної основи є окремим випадком цієї формули, коли довжина та ширина основи рівні (з точністю до 0,001 введених одиниць).

Приклад обчислення

Куля, радіус 5 м: SA = 4π(5)² = 100π ≈ 314,16 м²

Куб, довжина ребра 3 м: SA = 6(3)² = 54 м²

Циліндр, радіус 2 м, висота 5 м: SA = 2π(2)(2 + 5) = 28π ≈ 87,96 м²

Конус, радіус 3 м, висота 4 м: апофема = √(3² + 4²) = 5 м, тому SA = π(3)(3 + 5) = 24π ≈ 75,40 м²

Піраміда з квадратною основою, довжина основи 4 м, апофема 5 м: SA = 4² + 2(4)(5) = 16 + 40 = 56 м²

Піраміда з прямокутною основою, довжина основи 6 м, ширина основи 8 м, похила висота 5 м: половина ширини основи дорівнює 4 м, тому вертикальна висота становить √(5² − 4²) = 3 м. Похила висота іншої пари граней дорівнює √(3² + 3²) = √18 ≈ 4,2426 м. SA = (6 × 8) + (6 × 5) + (8 × 4,2426) = 48 + 30 + 33,94 ≈ 111,94 м²

Прямокутний паралелепіпед, довжина 4 м, ширина 3 м, висота 5 м: SA = 2(4·3 + 4·5 + 3·5) = 2(12 + 20 + 15) = 94 м²

Трикутна призма, основа 3 м, висота трикутника 4 м, довжина призми 5 м: дві рівні бічні сторони дорівнюють √(4² + 1,5²) = √18,25 ≈ 4,272 м. SA = (3 × 4) + (4,272 + 3 + 4,272) × 5 = 12 + 57,72 ≈ 69,72 м²

Одиниці та точність

Усі введені вимірювання мають бути в одній і тій самій одиниці, наприклад у метрах, футах або сантиметрах. Результат подається в квадраті цієї одиниці. Калькулятор виконує обчислення з повною точністю чисел із плаваючою комою, а результат відображає, округливши його до двох знаків після коми.

Для чого потрібна площа поверхні

Площу поверхні використовують для оцінювання кількості фарби або покриття, потрібних для стіни чи предмета, матеріалу для пакування, а також листового металу або тканини для виготовлення контейнера. У біології та хімії площа поверхні клітини або частинки каталізатора впливає на швидкість обміну речовинами з навколишнім середовищем, оскільки обмін відбувається через поверхню. У техніці площа поверхні радіатора або теплообмінника впливає на швидкість передавання тепла.

Поширені запитання

Що таке площа поверхні? Площа поверхні — це сумарна площа всіх зовнішніх граней або криволінійних поверхонь тривимірного об’єкта, виражена у квадратних одиницях.

Яка формула площі поверхні сфери? $SA = 4\pi r²$ , де r — радіус. Сфера з радіусом 5 м має площу поверхні приблизно 314,16 м².

Як знайти площу поверхні циліндра? Додайте площу двох круглих основ до площі бічної поверхні: $SA = 2\pi r² + 2\pi rh$ , де r — радіус, а h — висота.

У чому різниця між площею поверхні та об’ємом? Площа поверхні вимірює зовнішню межу фігури у квадратних одиницях. Об’єм вимірює простір, обмежений цією межею, у кубічних одиницях. Площа поверхні та об’єм фігури зазвичай зростають із різною швидкістю зі збільшенням її розміру.

Чи може цей калькулятор обробляти піраміду з прямокутною основою? Так. Введіть різні довжину та ширину основи, а також похилу висоту двох граней, що спираються на ребра основи завдовжки l. Калькулятор визначає вертикальну висоту та другу похилу висоту за цими трьома числами.

Чому піраміда іноді спричиняє помилку? Похила висота має бути більшою за половину ширини основи. Якщо вона дорівнює цій величині або менша за неї, піраміда мала б нульову або уявну висоту, тому такого геометричного тіла не існує, і площу поверхні неможливо обчислити.

Які фігури підтримує цей калькулятор? Кулю, куб, циліндр, піраміду, конус, прямокутний паралелепіпед і трикутну призму.

Джерела

"Surface Area." Wikipedia, Фонд Вікімедіа. https://en.wikipedia.org/wiki/Surface_area
Weisstein, Eric W. "Surface Area." MathWorld — вебресурс Wolfram. https://mathworld.wolfram.com/SurfaceArea.html
"Surface Area Formulas." Math Is Fun. https://www.mathsisfun.com/geometry/surface-area.html

Калькулятор площі поверхні - Безкоштовний інструмент для всіх 3D-форм