Rechner: Konfidenzintervall in Standardabweichung

Dieser Rechner wandelt ein angegebenes Konfidenzintervall zurück in einen Standardfehler und eine Standardabweichung. Er benötigt die beiden Intervallgrenzen, die Stichprobengröße und das Konfidenzniveau. In wissenschaftlichen Arbeiten wird häufig ein Mittelwert mit seinem Konfidenzintervall angegeben, die Standardabweichung jedoch weggelassen, obwohl Meta-Analysen und Power-Berechnungen sie benötigen.

Was der Rechner berechnet

Ein Konfidenzintervall für einen Mittelwert wird normalerweise wie folgt gebildet:

$CI = m \pm Z \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

Dabei ist CI das Konfidenzintervall, m die angegebene Schätzung, Z der kritische Wert, σ die Standardabweichung und n die Stichprobengröße.

Der Teil nach dem ±-Zeichen ist die Fehlerspanne. Sie entspricht dem kritischen Wert Z multipliziert mit dem Standardfehler. Da das Intervall symmetrisch ist, entspricht die Hälfte seiner Breite der Fehlerspanne. Durch Umstellen der Formel erhält man zunächst den Standardfehler und anschließend die Standardabweichung.

Formel

$w = u - l$

$SE = \frac{w}{2 \times Z}$

$\sigma = SE \times \sqrt{n}$

Dabei ist w die Intervallbreite, u die obere Grenze und l die untere Grenze. SE ist der Standardfehler des Mittelwerts. σ ist die Standardabweichung. Z ist der zweiseitige kritische Wert der Standardnormalverteilung für das Konfidenzniveau.

Kritische Werte

Für jedes andere Niveau ist Z der Wert, bei dem in jedem Verteilungsschwanz die Hälfte der verbleibenden Wahrscheinlichkeit liegt. Der Rechner berechnet ihn für jedes eingegebene Niveau.

Durchgerechnetes Beispiel

Eine Studie gibt eine mittlere Differenz von −2,6 mit einem 95 %-Konfidenzintervall von −5,2 bis −0,01 an, basierend auf 78 Teilnehmenden.

1. Breite = −0,01 − (−5,2) = 5,19
2. Z für ein 95 %-Konfidenzniveau = 1,96
3. SE = 5,19 ÷ (2 × 1,96) = 1,324
4. σ = 1,324 × √78 = 1,324 × 8,832 = 11,69

Die Standardabweichung beträgt etwa 11,69.

Wann diese Methode nur näherungsweise gilt

Die Formel setzt voraus, dass das Intervall symmetrisch um die Schätzung liegt und anhand der Normalverteilung erstellt wurde. Zwei Situationen verletzen diese Annahme.

Bei kleinen Stichproben wird häufig die t-Verteilung anstelle der Normalverteilung verwendet. Der kritische t-Wert ist größer, sodass die Verwendung von Z die Standardabweichung geringfügig unterschätzt. Die Differenz wird mit zunehmender Stichprobengröße kleiner und ist oberhalb von ungefähr 30 Beobachtungen gering.

Intervalle für Verhältniszahlen, etwa Odds Ratios oder Hazard Ratios, sind auf der logarithmischen Skala symmetrisch, nicht auf der ursprünglichen Skala. Diese Grenzen müssen vor der Anwendung dieser Formel mithilfe von Logarithmen umgerechnet werden.

Liegt die Punktschätzung nicht in der Mitte des Intervalls, kennzeichnet der Rechner das Intervall als asymmetrisch, und das Ergebnis sollte als Schätzung betrachtet werden.

Häufig gestellte Fragen

Was ist der Unterschied zwischen Standardfehler und Standardabweichung?

Die Standardabweichung beschreibt, wie stark einzelne Werte streuen. Der Standardfehler beschreibt, wie genau der Mittelwert bekannt ist. Beide Größen sind durch SE = σ / √n verknüpft. Daher wird der Standardfehler bei wachsender Stichprobe kleiner, die Standardabweichung jedoch nicht.

Warum durch 2Z statt durch Z teilen?

Die gesamte Breite umfasst beide Seiten der Schätzung. Eine Fehlerspanne entspricht der Hälfte der Breite. Daher wird die halbe Breite durch Z geteilt, was dasselbe ist, wie die gesamte Breite durch 2Z zu teilen.

Kann dies mit einem auf der t-Verteilung basierenden Intervall verwendet werden?

Ja, aber Z muss durch den kritischen t-Wert für n − 1 Freiheitsgrade ersetzt werden. Die Verwendung von Z bei einer kleinen Stichprobe ergibt eine geringfügig zu niedrige Standardabweichung.

Was ist, wenn nur die Fehlerspanne angegeben wird?

Verdoppeln Sie sie, um die Breite zu erhalten, und führen Sie anschließend dieselben Schritte aus.

Verändert die Punktschätzung das Ergebnis?

Nein. In die Formel gehen nur die Breite, das Konfidenzniveau und die Stichprobengröße ein. Die Schätzung wird verwendet, um zu prüfen, ob das Intervall symmetrisch ist.